Geometria Diferencial e Cálculo das variações

Description

O Cálculo das Variações nasceu das tentativas desenvolvidas ao longo dos anos por Matemáticos interessa dos em generalizar a teoria de Máximos e Mínimos do Cálcu lo Diferencial para funções cujo domínio fosse constituí- do por certos conjuntos de curvas ou funções. Os quatro primeiros capítulos constituem uma introdução ao Cálculo das Variações. É tratado com deta lhe o problema variacional mais simples, sendo destacados apenas aqueles aspectos que posteriormente serão utiliza dos no estudo dos problemas geométricos. Assim, por exem plo, nenhuma menção é feita a questões relacionadas com mínimos fortes, o problema de minimizar um funcional é sempre o problema local, no estudo da segunda variação do funcional mais simples, são consideradas apenas as condi ções necessárias de Legendre e Jacobi para existência de um mínimo, bastante ênfase é dado ao estudo de pontos con jugados. No final do capítulo quatro são estabelecidas condições suficientes, para existência de um mínimo fraco do problema variacional mais simples. 1. Introdução ....................................................... 1 2. Máximos e Mínimos de Funcionais .................................. 13 3. O Problema Varíacional mais simples............................... 23 4. Pontos Conjugados ................................................ 33 5. O Teste de Jacobi ................................................ 53 6. O Problema Variacional mais simples no Rⁿ ........................ 59 7. Geodésicas ...................................................... 67 8. O Problema Variacional Envolvendo Integrais Múltiplas ............ 91 Bibliografia ....................................................... 115