Cálculo Avançado

Description

Este livro tem o desejo de ser livro texto de Análise no Rn em disciplinas de final do bacharelado em matemática ou início de mestrado. Tem como objetivo apresentar os conceitos de diferencial e integral, seus principais resultados e algumas aplicações importantes. Embora o universo seja o Rn , os resultados que podem se estender a espaços de dimensão infinita são apontados para alertar o estudante sobre o maravilhoso mundo da Ánalise Funcional. Os capítulos 5 a 10 são os que abordam a diferencial em Rn (ou isomorfos) e o capítulo 11, já com a dimensão no infinito, a diferencial no espaço das funções contínuas. A construção da Integral de Riemann em Rn e os principais teoremas estão nos capítulos 12 e 13. Cada capítulo termina com uma lista de exercícios, cujas soluções podem ser obtidas na página do autor. Por fim, um breve apêndice contendo coisas básicas de Álgebra Multilinear, só para justificar os meios. Sumário 1 Conjuntos e Funções ......................... 1 1.1 Operações com conjuntos ................... 1 1.1.1 União e interseção ...................... 2 1.1.2 Díferença e complementar ................ 3 1.1.3 Produto cartesiano ...................... 3 1.2 Funções ................................... 4 1.3 Composíção de funções ..................... 6 1.4 Sequências..............................6 1.5 Exercícios..............................7 2 Métricas e Normas ........................... 11 2.1 Espaços Vetoriais com produto interno ...... 13 2.2 Normas em Rn ...........................14 2.3 Exemplos de espaço vetoríal normado ...... 17 2.4 Exercícíos ................................19 3 Abertos, Fechados, Compactos ............... 23 3.1 Conjuntos compactos .......................25 3.2 Compactos de Rn ...........................28 3.3 Sequêncías em espaços Vetoriais .......... 31 3.4SequênciasdeCauchy ........................ 33 3.5 Sequências em Rn ......................... 34 3.6 Exercícios ............................... 35 SUMÁRIO 4 Limite e Continuidade ....................... 37 4.1 Funções contínuas ......................... 39 4.1.1 Funções Contínuas e Conjuntos compactos . 42 4.1.2 Funções Contínuas e conjuntos conexos ... 44 4.1.3 Conjuntos convexos e funções convexas ... 45 4.2 Continuidade uniforme ..................... 47 4.3 Espaços Vetoriais de dimensão finita ...... 49 4.3.1 O espaço vetorial das transformações lineares .. 50 4.3.2 O teorema do ponto ñxo de Banach ....... 50 4.4 Semicontinuidade.......................... 52 4.5 Exercícios 56 5 Funções Diferenciáveis .................... 65 5.1 Funções diferenciáveis: o caso escalar .. 66 5.1.1 0 vetor gradiente .....................70 5.1.2 Regras básicas de derivação ........... 71 5.1.3 Condições suficientes para a diferenciabilidade . . . . . . 72 5.2 Funções diferenciáveis: 0 caso vetoria1. . . . . . . . . . . . . . . 74 5.2.1 A matriz jacobiana ...................... 76 5.2.2 A regra da cadeia ....................... 77 5.2.3 O teorema do valor médio ................ 78 5.2.4 Derivadas parciais: o caso Vetorial ..... 79 5.2.5 A diferencial: funções de classe C1 ..... 80 5.3 Funções diferenciáveis: ocaso geral ....... 82 5.3.1 A projeção ortogonal é uma derivada ..... 86 5.4 Exercícios 87 6 Curvas em Rn ..................................... 93 6.1 Curvas retifícáveis ............................ 95 6.1.1 Curvas diferenciáveis ........................ 96 6.2 Integral de linhas: O caso escalar ............. 98 6.2.1 Aplícação: a Transformada Raios X ............ 98 6.2.2 Funções radiais ............................. 100 6.2.3 O problema inverso .......................... 101 6.3 O teorema fundamentaldo cálculo ............... 102 6.3.1 Aplicação: conservaçào da energia ........... 109 6.4 Exercícios .................................... 109 7 Derivadas de Segunda Ordem ...................... 113 7.1 Máximos e mínimos ............................... 118 7.2 Partição da unidade ............................. 124 7.3 Exercícios .................................... 128 8 O Teorema da Função Inversa 133 8.1 O teorema da função inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .134 8.1.1 Aplicação: o método das características . . . . . . . . .140 8.2 Oteorema da função inversa (bís) . . . . . . . . . . . . . . . . .142 8.3 Exercícios 145 9 O Teorema da Função Implícita 149 9.1 O teorema da função implícita ..................... 152 9.2 Multiplícadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .154 9.2.1 Aplicações..........................155 9.3 Multiplicadores de Lagrange (bis) . . . . . . . . . . . . . . . . .158 9.4 Exercícios 160 10 Sequências de Funções 165 10.1 Convergência uniforme ..................................... 167 10.1.1 Convergência uniforme e derivadas ....................... 172 10.1.2 Séries de funções e convergência uniforme ............... 175 10.1.3 O teorema de extensão de Tietze . . . . . . . . . . . . . 176 10.1.4 Séries de potêncías .................... 179 10.1.5 A matriz exponencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .180 10.2 Exercícios 183 11 O Espaço das Funções Contínuas 187 11.0.1 Aplicação: oteorema de Picard ....................... 188 11.1 OteoremadeArzelà-Ascolí ............................... 190 11.1.1 Aplicaçãoz oteorema de Cauchy-Peano ................. 195 11.2 O teorema de Stone-Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . .198 11.3 Funcionais contínuos e diferencíáveis . . . . . . . . . . . . . . .204 11.3.1 Aplicação: Fluxos ................................... 205 11.3.2 O Teorema da função inversa de Hadamard . . . . . . .209 11.4 Exercícios 213 12 A integral de Riemann 219 12.1 Áreas,volumes etc..........................219 12.2 A integral de Riemann.......................225 12.3 Como calcular integrais? ............................... 238 12.4 Funções de Conjunto e derivadas espaciais .............. 243 12.5 Mudançadevariáveis ....................... 248 12.6 Coordenadas esféricas em Rn e aplicações. . . . . . . . . . . . .255 12.6.1 Aplicação: o conteúdo da bola de raio R em Rn . . . . .257 12.6.2 Aplicação: íntegrais com domínios variáveís . . . . . . .259 12.6.3 Aplicação: a equação da conservação da massa. . . . . .263 12.7 Exercícios 264 13 Gauss, Green, Stokes... 271 13.1 Hipersuperfícies de Rn ................................. 271 13.1.1 Hipersuperfícies Orientáveis. ........................ 274 13.1.2 Hipersuperfícies de classe C1 ........................ 277 13.2 Integrais de hipersuperfície em Rn ..................... 279 13.3 O teorema de Gauss e aplicações ........................ 283 13.3.1 O teorema de Gauss ................................... 286 13.3.2 Aplicação: as equações dos ñuidos perfeitos .......... 293 13.3.3 Aplicação: funções harmônícas e o teorema da médía ... 296 13.3.4 O teorema de Stokes .................................. 298 13.4 Operadores diferenciais: uma questão de notação ........ 302 13.5 Campos vetoriais da física matemática .................. 306 13.5.1 Integrais singulares.....................306 13.5.2 Campos newtonianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .311 13.5.3 Campos de Biot e Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . .319 13.5.4 Campos harmônicos ............ . . . . . . . .321 13.6 Formas díferenciais; uma breve introdução . . . . . . . . . . . .323 13.6.1 O lema de Hadamard. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .330 13.7 Exercícíos 336 Apêndice A Determinantes, traços etc ................................... 343 A.1 Formas n-lineares alternadas ............................ 343 A.1.1 O determinante.......................345 A.1.2 O determinante da matriz em blocos . . . . . . . . . . .350 A.1.3 O traço 352 A.2 O produto tensorial.........................354 A.2.1 O produto exterior 356 Referências 361 Índice Remissivo 363