Решение линейных дифференциальных уравнений

Description

В книге рассмотрены новые алгоритмы действий при решении линейных дифференциальных уравнений. Учебник содержит большое количество задач с решениями. В виде примеров рассмотрены выводы многих специальных функций и получены новые выражения для их вычисления. Данный учебный материал относится к разделу математики - линейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами. Для преподавателей и студентов высших учебных заведений. Введение Глава 1. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка 1.1. Уравнение с постоянными коэффициентами и уравнение Эйлера 1.2. Уравнение вида(a2xm+1 + b2)y(x) + a1xmy(x) + a0xm−1y(x) = 0 1.2.1. Случай a2 = 0 1.2.2. Случай a2 = 0 и a1 = 0 1.3. Уравнение вида (a2xm+2+b2x)y(x)+(a1xm+1+b1)y(x)+a0xmy(x) = 0 1.3.1. Особый случай b1 = b2 1.3.2. Случай a2 = 0 1.3.3. Особый случай a2 = 0 и b1 = b2 1.3.4. Случай a2 = 0 и a1 = 0 13.5. Особый случай a2 = 0, a1 = 0 и b1 = b2 1.4. Уравнение вида (a2xm+3 + b2x2)y(x) + (a1xm+2 + b1x)y(x) + (a0xm+1 + b0)y(x) = 0 1.4.1. Пример доказательства решения уравнения 1.4.2. Особый случай b0 = (b1 − b2)2/(4b2) 1.4.3. Случай a2 = 0 1.4.4. Особый случай a2 = 0 и b0 = (b1 − b2)2/(4b2) 1.4.5. Случай a2 = 0 и a1 = 0 1.4.6. Особый случай a2 = 0, a1 = 0 и b0 = (b1 − b2)2/(4b2) 1.5. Примеры решений известны уравнений 1.5.1. Уравнение Чебышева первого рода — решение в начале ординат 1.5.2. Уравнение Чебышева первого рода — решение в точке бесконечности 1.5.3. Уравнение Чебышева второго рода — решение в начале ординат 1.5.4. Уравнение Чебышева второго рода — решение в точке бексонечности 1.5.5. Уравнение Лежандра — решение в начале ординат 1.5.6. Уравнение Лежандра — решение в точке бексонечности 1.5 .7. Уравнение вида (1−x2)2y(x)−2cx(1−x2)y(x)+[v(v+1)(1−x2)−μ2]y(x) = 0 1.5.8. Дифференциальное уравнение для многочленов Эрмита 1.5.9. Дифференциальное уравнение лоя обобщенных полиномов Лагерра 1.5.10. Дифференциальное уравнение Гегенбауэра — решение в начале ординат 1.5.11. Дифференциальное уравнение Гегенбауэра — решение в точке бесконечности 1.5.12. Уравнение вида (s2−x2)y(x)+(b+ax)y(x)+cy(x) = 0 1.5.13. Дифференциальное уравнение Якоби — решение в начале ординат 1.5.14. Дифференциальное уравнение Якоби — решение в точке бесконечности 1.5.15. Дифференциальное уравнение Матье 1.5.16. Дифференциальное уравнение Гаусса 1.6. Варианты уравнений, приводимые к рассмотренным выше уравнениям 1.7. Линенйые уравнения второго порядка типа Гойна 1.8. Уравнения, содержащие произвольные функции Глава 2. Линейные дифференциальные уравнения третьего порядка 2.1. Уравнение с постоянными коэффициентами уравнение Эйлера 2.2. Уравнение вида (a3xm+1 + b3)y + a2xmy + a1xm−1y + a0xm−2y = 0 2.2.1. Случай a3 = 0 2.2.2. Случай a3 = 0 и a2 = 0 2.2.3. Случай a3 = 0, a2 = 0 и a1 = 0 2.3. Уравнение вида (a3xm+2 + b3x)y(x) + (a2xm+1 + b2)y(x) + a1xmy(x) + a0xm−1y(x) = 0 2.3.1. Случай a3 = 0 2.3.2. Случай a3 = 0 a2 = 0 2.3.3. Случай a3 = 0, a2 = 0 и a1 = 0 2.4. Уравнение вида (a3xm+3 + b3x2)y + (a2xm+2 + b2x)y + (a1xm+1 + b1)y + a0xmy = 0 2.4.1. Случай a3 = 0 2.4.2. Случай a3 = 0 a2 = 0 2.4.3. Случай a3 = 0, a2 = 0 и a1 = 0 2.5. Уравнение вида (a3xm+4 + b3x3)y + (a2xm+3 + b2x2)y + (a1xm+2 + b1x)y + (a0xm+1 + b0)y = 0 2.5.1. Случай a3 = 0 2.5.2. Случай a3 = 0 и a2 = 0 2.5.3. Случай a3 = 0, a2 = 0 и a1 = 0 2.6. Варианты уравнений, приводимые к рассмотренным выш е уравнениям 2.7. Линенйые уравнения третьего порядка типа Гойна Глава 3. Линенйые уравнения дифференциальные уравнения четвертого порядка 3.1. Уравнение с постоянными коэффииентами и уравнение Эйлера 3.2. Уравнение вида (a4xm+1 + b4)y(4) + a3xmy + a2xm−1y + a1xm−2y + a0xm−3y = 0 3.2.1. Случай a4 = 0 3.2.2. Случай a4 = 0 и a3 = 0 3.2.3. Случай a4 = 0, a3 = 0 и a2 = 0 3.2.4.Случай a4 = 0, a3 = 0, a2 = 0 и a1 = 0 3.3. Уравнение вида (a4xm+2 + b4x)y(4) + (a3xm+1 + b3)y + a2xmy + a1xm−1y + a0xm−2y = 0 3.3.1. Случай a4 = 0 3.3.2. Случай a4 = 0 и a3 = 0 3.3.3. Случай a4 = 0, a3 = 0 и a2 = 0 3.3.4. Случай a4 = 0 a3 = 0, a2 = 0 и a1 = 0 3.4. Уравнение вида (a4xm+3 + b4x2)y(4) + (a3xm+2 + b3x)y + (a2xm+1 + b2)y + a1xmy + a0xm−1y = 0 3.4.1. Случай a4 = 0 3.4.2. Случай a4 = 0 и a3 = 0 3.4.3. Случай a4 = 0, a3 = 0 и a2 = 0 3.4.4. Случай a4 = 0, a3 = 0, a2 = 0 и a1 = 0 3.5. Уравнение вида (a4xm+4 + b4x3)y(4) + (a3xm+3 + b3x2)y + (a2xm+2 + b2x)y + (a1xm+1 + b1)y + a0xmy = 0 3.5.1. Случай a4 = 0 3.5.2. Случай a4 = 0 и a3 = 0 3.5.3. Случай a4 = 0, a3 = 0 и a2 = 0 3.5.4. Случай a4 = 0, a3 = 0, a2 = 0 и a1 = 0 3.6. Уравнение вида (a4xm+5 + b4x4)y(4) + (a3xm+4 + b3x3)y + (a2xm+3 + b2x2)y + (a1xm+2 + b1x)y + (a0xm+1 + b0)y = 0 3.6.1. Случай a4 = 0 3.6.2. Случай a4 = 0 и a3 = 0 3.6.3. Случай a4 = 0, a3 = 0 и a2 = 0 3.6.4. Случай a4 = 0, a3 = 0, a2 = 0 и a1 = 0 3.7. Варианты уравнений , приводимые к рассмотренным выше уравнениям 3.8. Линенйые уравнения четвертого порядка типа Гойна Глава 4. Решение линейных дифференциальных уравнений n-го порядка 4.1. Уравнение с постоянными коэффициентами и уравнение Эйлера 4.2. Линейное однородное дифференциальное уравнение n-го порядка определенной структуры 4.3. Примеры решений дифференциальных уравнений высокого порядка Литература