Дифференциальные уравнения четвертого порядка: Учебное пособие для вузов

Description

В учебном пособии рассмотрены многочисленные варианты регулярных особых точек и приведены методики решения дифференциальных уравнений четвертого порядка при помощи рекуррентных алгоритмов. В книге подобраны многочисленные варианты уравнений, имеющих решения в виде «точной формулы». Количество вариантов решаемых уравнений в виде «точной формулы» превосходит их количество во всех известных автору справочниках. Учебное пособие содержит большое количество задач и алгоритмов для практического закрепления материала, будет полезно при изучении и решении дифференциальных уравнений четвертого порядка с переменными коэффициентами студентам высших учебных заведений. Введение Глава 1. Линейные дифференциальные уравнения четвертого порядка 1.1. Немного известной теории о решениях 1.1.1. Уравнение с постоянными коэффициентами и уравнение Эйлера 1.1.2. Уравнения, решаемые при помощи гипергеометрических и специальных функций 1.2. Предварительные замечания 1.3. Поиск решения не в особых точках пространства 1.4. Поиск решения неоднородного дифференциального уравнения 1.5. Особая точка первой степени 1.5.1. Вариант, когда b3,0/b4,1 /∈ Z 1.5.2. Вариант, когда b3,0/b4,1 ∈ Z ≤ 0 1.5.3. Вариант, когда b3,0/b4,1 ∈ Z > 0 1.5.4. Вариант, когда b3,0/b4,1 = 1 1.5.5. Вариант, когда b3,0/b4,1 = 2 1.5.6. Вариант, когда b3,0/b4,1 = 3 1.5.7. Вариант, когда b3,0/b4,1 ∈ Z > 3 1.6. Особая точка второй степени 1.6.1. Вариант, когда степени r3 /∈ Z, r4 /∈ Z и (r3 − r4) /∈ Z 1.6.2. Вариант, когда степени r3 /∈ Z и r4 /∈ Z, а (r3 − r4) ∈ Z 1.6.3. Вариант, когда степени r3 /∈ Z, r4 /∈ Z и r3 = r4 1.6.4. Одна из степеней r3 или r4 – целое число 1.6.5. Вариант, когда степень r3 ∈ Z > 1 1.6.6. Вариант, когда степень r3 = 1 и r4 /∈ Z 1.6.7. Вариант, когда степень r3 = 0 и r4 /∈ Z 1.6.8. Вариант, когда степень r3 ∈ Z 1, r2 ∈ Z > 1 и r1 > r2 1.6.11. Вариант, когда степени r3 ∈ Z < 0, r4 ∈ Z r4 1.6.12. Вариант, когда r1 ∈ Z > 1, r2 ∈ Z > 1 и r1 = r2 1.6.13. Вариант, когда r3 ∈ Z < 0, r4 ∈ Z 0, r3, r4 /∈ Z и (r3 − r4) /∈ Z 1.7.5. Вариант, когда r1 ∈ Z > 0, r3, r4 /∈ Z и (r3 − r4) ∈ Z > 0 1.7.6. Вариант, когда r2 ∈ Z < 0, r3, r4 /∈ Z и (r3 − r4) /∈ Z 1.7.7. Вариант, когда r2 ∈ Z 0 1.7.8. Вариант, когда r2 = 0, r3, r4 /∈ Z и (r3 − r4) /∈ Z 1.7.9. Вариант, когда r2 = 0, r3, r4 /∈ Z и (r3 − r4) ∈ Z > 0 1.7.10. Вариант, когда r2 = 0, r3, r4 /∈ Z и r3 = r4 1.7.11. Вариант, когда r1 ∈ Z > 0, r2 ∈ Z > 0, r1 > r2 и r4 /∈ Z 1.7.12. Вариант, когда r1 ∈ Z>r2 ∈ Z>r3 ∈ Z>r4 ∈ Z 1.7.13. Вариант, когда r1, r2, r3, r4 ∈ Z и r1 = r2 1.7.14. Вариант, когда r1 = r2 = 0, r3 ∈ Z < 0 и r4 ∈ Z r2 = r3 > r4 1.7.16. Вариант, когда r1, r2, r3, r4 ∈ Z и r2 = r3 = 0 1.7.17. Вариант, когда r1, r2, r3, r4 ∈ Z и r3 = r4 1.7.18. Вариант, когда r1, r2, r3, r4 ∈ Z и r3 = r4 = 0 1.7.19. Вариант, когда r1, r2, r3 ∈ Z, r4 = 0 и r1 = r2 = r3 > r4 1.7.20. Вариант, когда четыре корня равны нулю 1.7.21. Вариант, когда r2, r3, r4 ∈ Z, r1 = 0 и r1 > r2 = r3 = r4 1.7.22. Вариант, когда r2 /∈ Z, r3 ∈ C и r4 ∈ C 1.8. Особая точка четвертой степени 1.8.1. Поиск решений, когда разности между корнями нецелые числа 1.8.2. Поиск решений, когда разности между двумя корнями целое число 1.8.3. Поиск решений, когда два корня равны 1.8.4. Вариант поиска решений, когда разности между тремя корнями целые числа 1.8.5. Вариант поиска решений, когда три корня равны 1.8.6. Вариант поиска решений, когда разности между всеми корнями целые числа 1.8.7. Вариант поиска решений, когда все корни равны 1.8.8. Вариант, когда (r1 − r2) /∈ Z, r3 ∈ C и r4 ∈ C 1.8.9. Вариант, когда r1 ∈ C, r2 ∈ C, r3 ∈ C и r4 ∈ C 1.9. Поиск решения в окрестности иррегулярной особой точки Глава 2. Нелинейные дифференциальные уравнения четвертого порядка 2.1. Рекуррентные формулы для экспоненты 2.2. Рекуррентные формулы для логарифма 2.3. Рекуррентные формулы для синуса и косинуса 2.4. Рекуррентные формулы для произвольной степени 2.5. Рекуррентные формулы для степенной функции Глава 3. Варианты поиска аналитического решения «в виде конечной формулы» 3.1. Уравнения с двумя известными аналитическими решениями 3.2. Уравнения с тремя известными аналитическими решениями Литература