Методы дифференциальных разностей расчета оптических покрытий

Description

Учеб. пособие. М.: РУДН, 2008. – 161 с.Пособие посвящено изложению основ метода дифференциальных разностей и его применению к численному решению систем обыкновенных дифференциальных уравнений для моделирования и проектирования современных оптических устройств на основе тонкопленочных покрытий и дифракционных оптических элементов. Методы дифференциальных разностей включают в себя различные модификации методов Рунге–Кутта, учитывающие гамильтонову структуру уравнений Максвелла. Данные методы являются предпочтительными в том случае, когда периодическая структура существенно не бинарна. По существу эти методы являются дискретной реализацией метода геометрического интегрирования Уитни. Для магистров и аспирантов, обучающихся по направлению «Прикладная математика и информатика».Общее описание курса Инновационность курса Матрицы и дифференциальные уравнения Системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка Векторно-матричные обозначения Равномерные нормы векторов и матриц Бесконечные ряды векторов и матриц Существование и единственность решений линейной системы уравнений Матричная экспонента Функциональные уравнения Однородные линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Матричная экспонента Свойства матричной экспоненты Невырожденность решения Явная форма решения линейного дифференциального уравнения Диагональные матрицы Диагонализация матрицы Связь между двумя подходами Вычисление матричной экспоненты с учетом недиагонализуемости Вычисление матричной экспоненты с привлечением жордановой формы Представление матричной экспоненты в виде матричного полинома Примеры вычисления матричных экспонент Конечно-разностный подход к рассеянию света на оптических решетках Изложение основ метода Конечно-разностная в вертикальном направлении формулировка Теоретичекий базис Алгоритм решения начальной задачи Центральная разностная схема Сплетающие операторы Корректирующий метод сплетающих операторов второго порядка Алгоритм Ньюмарка Алгоритм точного четвертого порядка Блочно-треугольный UL(LU)-алгоритм Численные процедуры Сравнение с другими подходами Вариационная формулировка рассеяния плоских электромагнитных волн на одномерных дифракционных решетках Введение Прямая задача дифракции Ослабленный метод оптимального проектирования Вычислительный электромагнетизм с вариационными интеграторами и дискретными дифференциальными формами Вариационные численные методы и симметрии Сохранение дискретной дифференциальной структуры Практические следствия учета геометрической структуры Перчень основных результатов Основные выводы Уравнения Максвелла От векторных полей к дифференциальным формам 2-формы Фарадея и Максвелла Электромагнитный вариационный принцип Вариационное происхождение уравнений Максвелла Редукция уравнений Внешнее дискретное исчисление Логическое обоснование использования внешнего дискретного исчисления в вычислительной электродинамике Сетки и двойственные сетки Дискретные дифференциальные формы Дискретное внешнее дифференцирование Дискретное отображение Ходжа Дискретное внутреннее произведение Дискретное кодифференцирование Применение дискретного внешнего исчисления Начальные и граничные условия в дискретном внешнем исчислении Дискретное интегрирование по частям с учетом ненулевых граничных условий Применение дискретного внешнего исчисления к уравнениям Максвелла Прямоугольная сетка Неструктурированная пространственная сетка с равномерными шагами по времени Неструктурированная пространственная сетка с асинхронными шагами по времени Полностью неструктурированная пространственно-временная сетка Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Практические задания Краткий обзор численных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений Вычислительные схемы Погрешность численного решения и методы ее оценки Общие проблемы реализации численных методов Тестовые задачи Задания Содержание отчета Литература Описание курса и программа