Геометрия. Учебное пособие для техникумов

Description

Книга написана в соответствии с программой по геометрии для учащихся средних специальных учебных заведений, обучающихся по специальности № 1750 «Прикладная математика». Теоретический материал иллюстрируется подробно решенными задачами и примерами. В конце каждой главы имеются задачи для самостоятельного решения. Предназначается для учащихся средних специальных учебных заведений. ПРЕДИСЛОВИЕ Данная книга входит в серию учебных пособий' для учащихся техникумов по специальности «Прикладная математика» с квалификацией «вычислитель-математик». Учебные планы и программы для этой специальности подготовлены Управлением кадров и учебных заведений Министерства приборостроения, автоматизации и систем управления на основе научно-методических разработок и предложений Лаборатории прикладной математики НИИ содержания и методов обучения АПН СССР, возглавляемой чл.-корр. АПН СССР С. И. Шварцбурдом. Настоящая книга может быть использована в качестве учебного пособия по геометрии учащимися ряда других профессий средних специальных учебных заведений, в которых изучается повышенный курс математики. Рассматриваемое учебное пособие соответствует новой программе по математике восьмилетней школы, опирается на нее, и поэтому в нем основные понятия, символика и содержание согласованы с курсом восьмилетней школы. Элементы теории иллюстрируются соответствующими задачами и примерами. Пособие содержит достаточное число упражнений для овладения учащимися знаниями, умением и навыками. Автор выражает искреннюю признательность рецензентам книги С. И. Шварцбурду и М. А. Зибряк, внимательно прочитавшим рукопись, за весьма полезные замечания, послужившие к ее улучшению, Э. Шувалова Эмма Зиновьевна Шувалова ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие ............ .................... ................................................................. 6 Глава I. Соотношения между элементами произвольного треугольника. Решение косоугольных треугольников § 1. Теорема синусов ..................... .................... .................... .................... . . 7 § 2. Теорема косинусов .................... .................... .................... ......................... 8 § 3. Выражение тангенса половинного угла через стороны треугольника и радиус вписанной окружности................ 10 § 4. Основные случаи решения косоугольных треугольников ................................. .................... . 12 § 5. Измерение расстояний между «недоступными» объектами .............. .................... .................... 14 § 6. Другие типы задач на решение косоугольных треугольников ............... .................... ............... 16 § 7. З а д а ч и ............................................... ............................................... 20 Задачи к главе I ...................... .................... ........................... .................... ... 23 Глава II. Логическое строение курса стереометрии § 8. О строении курса стереометрии. Символика и терминология ................................................... 25 § 9. Аксиомы принадлежности.......................................................... ........................... 26 § 10. Аксиомы расстояния . . . . ............................................ .................... .............. 28 § 11. Аксиомы порядка .................................................... .................... ................. 29 § 12. Аксиома подвижности плоскости ................................ .............. ............................. 31 § 13. Аксиома о параллельных..................................................... ............................... 33 § 14. Следствия из аксиом ............................................ .................... ..................... 34 Глава III. Параллельность в пространстве § 15. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Взаимное расположение плоскости и прямой в пространстве .... 35 § 16. Параллельность прямой и плоскости........................... .................... ...................... ..... 36 § 17. Параллельные плоскости............................................... .................... ................... 37 § 18. Направление в пространстве. Угол между двумя прямыми ..........................................................39 § 19. Параллельное проектирование.......................................... .......................... ............. 42 § 20. Изображение фигур в стереометрии.................................. ............................... ........... 44 § 21. Задачи ....................................................................................................... 45 Задачи к главе III .................... .................... .................... .................................. 48 Глава IV. Преобразование пространства. Векторы § 22. Преобразование пространства .................................................. .................... .......... 48 § 23. Параллельный перенос в пространстве.................................................... .................... . 50 § 24. Определение вектора ................................................................... .................... . 50 § 25. Сумма векторов ................................................................. .................... ........ 52 § 26. Вычитание векторов. Умножение вектора на число . . .................... ............... .................... . 54 § 27. Линейная комбинация векторов. Условия коллинеарности и компланарности......................................... 56 § 28. Скалярное произведение векторов...................................................... .................... ... 58 § 29. Арифметические свойства скалярного произведения . . .................... .............. .................... . 59 § 30. Векторное произведение векторов..................................................... .................... . . 61 Задачи к главе IV...... .................................................................. .................... .... 63 Глава V. Перпендикулярность в пространстве. Двугранные и многогранные углы § 31. Перпендикуляр к п лоск ости ................................................ .................... ............ 64 § 32. Наклонная и проекция наклонной на плоскость. Расстояние от точки до плоскости ........... .................... 65 § 33. Теорема о трех перпендикулярах................................... ............................. .............. 66 § 34. Угол между наклонной и плоскостью.................................... ............ .................... ...... 68 § 35. Зависимость между параллельностью и перпендикулярностью прямых и плоскостей................................... 69 § 36. Расстояние между скрещивающимися прямыми ...................... ....................... .................... . 72 § 37. Смешанное произведение трех векторов. Признак.компланарности трех векторов.................................... 72 § 38. Двугранные у г л ы ....................................... .................... .................... ......... 73 § 39. Угол между плоскостями. Перпендикулярные плоскости .................... ................. .................... 75 § 40. Ортогональное проектирование.................................... ........................ .................... 76 § 41. Длина проекции отрезка. Площадь проекции плоского многоугольника.............................................. 78 § 42. Площадь проекции произвольной плоской фигуры . . .................... .................... ................. . 80 § 43. Многогранные у г л ы ............................ .................... ....................................... 81 § 44. З а д а ч и ..................................... .................... ....................................... 84 Задачи к главе V ............................... .................... ............... .................... ......... 87 Глава VI. Метод координат § 45. Прямоугольная система координат......................................... .................... ................. 89 § 46. Выражение скалярного .произведения векторов через их координаты. Уравнение плоскости .......................... 93 § 47. Выражение векторного произведения двух векторов через их координаты............................................ 96 § 48. Выражение смешанного произведения трех векторов через координаты............................................... 97 § 49. Задачи ........................................................ ............................................... 98 Задачи к главе V I .............................................. .................... .................... ......... 102 Глава VII. Многогранники. Цилиндры. Конусы § 50. Понятие о многограннике1 ................................. .................... ............................... 103 § 51. Понятие о правильных многогранниках .................. .................... .................... .............. 103 § 52. Теорема-Эйлера................................................. ............................................... 105 § 53. Призма ............................................................. .................... .................... 108 § 54. Цилиндрическая поверхность. Цилиндр.............................. .................... .................... ... 110 § 55. Пирамида........................................................ .................... .................... .... 113 § 56. Коническая поверхность. К о н у с ............................... .................... .................... ... 114 § 57. Гомотетия в пространстве ............................................ .................... .................... 116 § 58. Свойства параллельных сечений конуса (пирамиды). Усеченный конус (усеченная пирамида) ......................... 118 § 59. Сечения многогранников........................................... .................... ....................... 119 § 60. З а д а ч и ...................... .................... .................... .................... ............. 121 Задачи к главе VII ...................... .................... .................... ................................. 125 Глава VII I . Шар §,61. Сфера и шар. Сечение сферы и шара плоскостью . . . .................... ............................... ..... . 128 § 62. Касательная плоскость. . . ....................... .................... ....................................... 129 § 63. Понятие о сферическом треугольнике ..................... .................... ................................. 130 § 64. З а д а ч и .............................................................. .................................. . 131 Задачи к главе VIII .......................................... .................... ................................. 134 Глава IX. Измерение объемов § 65. Общие свойства объемов . .................................................................................... . 135 § 66. Объем прямоугольного параллелепипеда............................................... .......................... 136 § 67. Объем прямого цилиндрического тела .................... .................... .................................. 137 § 68. Объем наклонного цилиндрического тела .......................................... ............................. 138 § 69. Общая формула для вычисления объема фигуры по площадям поперечных сечений ..................................... 139 § 70. Формулы для вычислений объема конуса, шара и его частей. Формула Симпсона...................................... 141 § 71. З а д а ч и ........................................... .................... ................................ 145 Задачи к главе IX .......................... .................... .................... .............................. 148 Глава X. Площадь поверхности § 72. Площадь поверхности многогранника.................................................... ....................... . 150 § 73. Площадь произвольной поверхности ...................................................... ...................... 153 § 74. Площадь поверхности прямого кругового цилиндра, кругового конуса и шара ....................................... 154 § 75. Задачи .................................................................... ................................... 157 Задачи к главе X .............................................. .................... ................................ 159 Ответы..................................................... .................... ................................ ... 162 Предметный указатель...................................................................................... .......... 164 Указатель обозначений, встречающихся в книге ..................................................... ..... ........... 167