Einführung in die Mengenlehre

Description

Die Mengenlehre ist eine eigenständige mathematische Disziplin. Zugleich ist sie eine Grundlagendisziplin, die für alle mathematischen Gebiete ein begriffliches Gerüst bereithält. In dieser Universalität offenbart sich eine große Tragweite des Mengenbegriffs und seiner Axiomatisierung. Die vorliegende Einführung gibt daher nicht nur einen Einblick in die Theorie und belegt deren Bedeutung für die Mathematik, sie behandelt auch Methoden und Ergebnisse, die auf eine möglichst weitgehende Rechtfertigung der mengentheoretischen Axiomsysteme zielen. Geschichtliche und erkenntnistheoretische Betrachtungen runden das Bild ab. Das Buch setzt keine spezifischen mathematischen Kenntnisse voraus. Es richtet sich an alle, die an den Grundlagen der Mathematik interessiert und mit Gedankengängen mathematischer Prägung vertraut sind. Rund 200 Übungsaufgaben mit Lösungshinweisen bieten eine zusätzliche Hilfe, insbesondere dann, wenn man das Buch zur eigenständigen Erarbeitung des dargebotenen Stoffes nutzen möchte. Die Neuauflage ist vollständig durchgesehen und enthält jetzt eine systematische Behandlung der konstruktiblen Hierarchie, die Beweise der relativen Widerspruchsfreiheit des Auswahlaxioms und der Cantorschen Kontinuumshypothese erlaubt. Vorwort Inhaltsverzeichnis I Einleitung §1 Der naive Mengenbegriff §2 Die Bedeutung der Mengenlehre für die Mathematik §3 Ein geschichtlicher Rückblick §4 Zur Tragweite mengentheoretischer Axiomensysteme II Der Rahmen der Darstellung §1 Die mengentheoretische Sprache §2 Prädikate, Operationen und Klassen III Das Zermelo-Fraenkelsche Axiomensystem §1 ExtensionalitŁat und Aussonderung §2 Axiome der Mengenvereinigung §3 Das Potenzmengenaxiom. Eine methodologische Betrachtung §4 Das Unendlichkeitsaxiom §5 Ersetzung §6 Das Fundierungsaxiom §7 Das Auswahlaxiom IV Relationen und Funktionen §1 Relationen §2 Funktionen und Familien V Natürliche Zahlen und Zahlbereiche §1 Natürliche Zahlen und Peano-Strukturen §2 Rekursionen über ω §3 Endliche Mengen §4 Zahlbereiche VI Fundierte Strukturen und Ordinalzahlen §1 Fundierte Strukturen und Wohlordnungen §2 Ordinalzahlen §3 Es gibt viele Ordinalzahlen VII Rekursionen und Fundiertheit §1 Das lokale Rekursionstheorem §2 Das globale Rekursionstheorem §3 Die von Neumannsche Hierarchie und das Fundierungsaxiom VIII Das Auswahlaxiom §1 Das Axiom §2 Der Wohlordnungssatz §3 Das Zornsche Lemma IX Mächtigkeiten §1 Der Vergleich von Mächtigkeiten §2 Kardinalzahlen x3 Kofinalität und Exponentiation §4 Die Kontinuumshypothese X Das Universum als kumulative Hierarchie §1 Relativierungen und Absolutheit §2 Das Reflektionsprinzip §3 Das Scottsche Axiomensystem der Mengenlehre XI Metamathematische Fragestellungen §1 Widerspruchsfreiheit und relative Widerspruchsfreiheit §2 Die konstruktible Hierarchie – Ein Exkurs §3 Unvollständigkeit §4 Erkenntnistheoretische Anmerkungen XII Anhang: Zum Verhältnis von ZF und NBG §1 Das Axiomensystem NBG §2 Die Gleichwertigkeit von ZF und NBG XIII Hinweise zur Lösung der Aufgaben Aufgaben zu Kapitel II Aufgaben zu Kapitel III Aufgaben zu Kapitel IV Aufgaben zu Kapitel V Aufgaben zu Kapitel VI Aufgaben zu Kapitel VII Aufgaben zu Kapitel VIII Aufgaben zu Kapitel IX Aufgaben zu Kapitel X Aufgaben zu Kapitel XI Liste der Axiome und Axiomensysteme Literaturverzeichnis Symbolverzeichnis Namen- und Sachverzeichnis