数学基礎論 増補版

Description

予備知識を仮定せず、数学基礎論の基本的結果とその技法やアイディアを広くていねいに解説した本格的教科書、待望の増補版。入門篇を中心に記述をわかりやすくするとともに、不完全性定理の意義、算術的完全性定理、ロビンソンによるモデル完全性の初歩事項や演習問題なども追加し。「数学についての数学」の全体像を描き出す。 【主要目次】 増補版緒言/はじめに/数学基礎論の問題構制/本書の構成 第I部 入門篇 第1章 1階論理入門 第2章 計算理論入門 第3章 不完全性定理 第II部 基礎篇 第4章 「基礎篇」の準備 第5章 モデル理論 第6章 計算理論 第7章 集合論 第8章 証明論 付録A 補遺/付録B 演習略解/付録C 文献案内 増補版緒言 はじめに 数学基礎論の問題構制 本書の構成 目次 依存表 第I部 入門篇 第1章 1階論理入門 1.1 「入門篇」の準備 1.2 1階論理で書き表す練習 1.2.1 群論からの例 1.2.2 環と体 1.2.3 代数的閉体 1.2.4 実数 1.2.5 実閉体 1.3 1階論理の形式化 1.4 コンパクト性定理 1.4.1 命題論理 1.4.2 命題論理のコンパクト性定理 1.4.3 Henkin定数 1.5 完全性定理 1.5.1 証明体系 H 1.5.2 命題論理の完全性定理 1.5.3 述語論理の完全性定理の証明 1.6 定義による拡張 1.7 自然数の公理系群 PA 1.8 演習 第2章 計算理論入門 2.1 計算可能性 2.1.1 コード化 2.1.2 原始再帰的関数 2.1.3 Churchのテーゼ 2.2 レジスター機械による計算 2.2.1 レジスター機械計算可能なら再帰的 2.2.2 再帰的ならレジスター機械で計算可能 2.3 Turing機械 2.4 計算可能性に関する基本的な諸結果 2.5 半計算可能集合 2.6 演習 第3章 不完全性定理 3.1 3章の前書き 3.2 1階算術 PA (PR) 3.3 算術化 3.4 Σ₁-完全性 3.5 不動点定理と証明可能性述語 3.5.1 証明可能性述語 Pr の性質 3.6 第1不完全性定理 3.7 第2不完全性定理 3.8 不完全性定理の意義 3.8.1 2階論理の不完全性 3.9 算術的完全性定理 3.9.1 様相論理 GL 3.9.2 算術的完全性定理の証明 3.10 演習 第II部 基礎篇 第4章 「基礎篇」の準備 4.1 集合生成規則 4.1.1 集合全体のクラス V 4.2 順序，整礎関係，超限帰納法 4.3 整列順序と順序数 4.3.1 整列順序 4.3.2 順序数 4.3.3 順序数演算 4.3.4 木 4.4 濃度と基数 4.4.1 基数演算 4.4.2 帰納的定義入門 4.5 フィルターと閉非有界集合 4.5.1 集合上のフィルター 4.5.2 ブール代数 4.5.3 閉非有界集合 4.5.4 poset と Martin の公理 MA 4.6 Ramsey の定理 4.7 演習 第5章 モデル理論 5.1 コンパクト性定理の応用 5.2 完全な公理系とモデル完全性，量化記号消去 5.2.1 完全な公理系 5.2.2 モデル完全性 5.2.3 量化記号消去 5.3 タイプ 5.3.1 タイプと Stone 空間 5.3.2 タイプを排除する 5.4 超積 5.5 識別不能集合 5.5.1 Ehrenfeucht-Mostowski モデル 5.5.2 対角識別不能集合 5.5.3 組合せ原理 DH の公理系 PA からの独立性 5.6 範疇性定理 5.6.1 ω-安定性 5.6.2 Vaught 対 5.6.3 Baldwin-Lachlan の定理 5.7 演習 第6章 計算理論 6.1 決定不能問題 6.1.1 停止性問題 6.1.2 半群の語の問題 6.1.3 論理的な正しさを判定する問題 6.1.4 タイル貼り問題 6.2 半計算可能集合（続） 6.2.1 半計算可能集合族の代数的性質 6.2.2 創造的集合と単純集合 6.3 相対化された計算 6.3.1 Turing 還元可能性と次数 6.3.2 算術的階層 6.4 計算により比較不可能な実数の構成 6.5 解析的階層 6.5.1 Π^1_1 6.5.2 Δ^1_1 6.6 演習 第7章 集合論 7.1 絶対性 7.1.1 絶対性 7.1.2 反映原理 7.2 構成可能集合 7.2.1 構成可能集合 7.2.2 L_α の絶対性 7.2.3 構成可能性公理の帰結 7.2.4 Suslin 直線 7.3 強制法 7.3.1 強制法による濃度の操作 7.3.2 強制法の基本定理の証明 7.3.3 強制法の応用例 7.4 可測基数 7.4.1 可測基数と超ベキ 7.4.2 正規測度 7.5 Silver 識別不能集合 7.5.1 顕著な識別不能列 7.5.2 0^# 7.6 演習 第8章 証明論 8.1 推件計算とカット消去 8.1.1 カット無し体系の完全性 8.2 カット消去の応用 8.2.1 論理的な複雑さ 8.2.2 補間定理 8.2.3 Herbrand の定理 8.3 証明の長さ 8.3.1 カット消去アルゴリズム 8.3.2 単一化とその応用 8.4 1階自然数論の順序数解析 8.4.1 1階自然数論 PA(X) 8.4.2 1階自然数論で証明できる超限帰納法 8.4.3 1階自然数論で証明できる Π^0_2-論理式 8.5 帰納的定義の順序数解析 8.5.1 公理系 IDΩ 8.5.2 つぶし関数による順序数表記 8.5.3 作用素により統御された証明 8.6 演習 付録A. 補遺 A.1 実閉体の量化記号消去のアルゴリズム A.2 定理7.1.7の証明 A.3 集合の整礎木による解釈 A.3.1 遺伝的有限集合 A.3.2 遺伝的可算集合 付録B. 演習略解 第1章 3(a) 10(a) 第2章 3(c) 19 第3章 5 13(a) 第4章 17(b) 第5章 9 24 31 33(c) 35(b) 44 45(d) 45(e) 47 第6章 14(f) 第7章 2 5(b) 9(c) 9(d) 12(c) 17(d) 20(b) 23(b) 第8章 6 23(c) 25 29(c) 30(f) 31 付録C. 文献案内 第3章 第5章 第7章 付録A 索引 記号 a, b, c d, e f, g, h i, j, k, l, m, n, o p, q, r s, t u, v, w ア カ サ タ ナ・ハ マ ヤ・ラ