Дифференциальные уравнения, 3 семестр

Description

КубГУ, 2 курс, 3-ий семестр, 2010 г. Преподаватель: Колотий А. Д. Отсканированные рукописные лекции по предмету - «Дифференциальные уравнения».Содержание:- Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения первого порядка (с разделяющимися переменными, однородные уравнения, уравнения в полных дифференциалах, интегрирующий множитель).- Линейные уравнения 1-го порядка.- Лемма Гронуолла — Белмана.- Теорема о существовании и единственности решения (Пикара) для одного дифференциального уравнения.- Определение непродолжаемого решения. Теорема о непродолжаемых решениях (без док-ва). Теорема Пеано (без док-ва). Теорема о гладкости решения дифференциального уравнения.- Теорема Пикара для систем.- Теорема о существовании и единственности для линейных систем.- Свойства решений линейных однородных систем (теоремы 1 — 3).- Свойства решений линейных однородных систем (теоремы 4 — 5).- Теорема Лиувилля для линейных систем.- Фундаментальная матрица и её свойства.- Линейные неоднородные системы. Утверждение и следствие. Метод вариации произвольных постоянных.- Линейные дифференциальные уравнения n-ого порядка. Эквивалентность уравнения n-ого порядка и системы. Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши для уравнения n-ого порядка.- Свойства решений линейных однородных дифференциальных уравнений n-ого порядка (теоремы 1 — 3).- Свойства решений линейных однородных дифференциальных уравнений n-ого порядка (теоремы 4 — 5).- Теорема Лиувилля. Понижение порядка линейного однородного уравнения.- Метод вариации произвольных постоянных для неоднородного уравнения n-ого порядка.- Линейные дифференциальные уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами, случай простых характеристических чисел. Построение общего вещественного решения.- Лемма о линейной независимости функций вида (x^k) * e^(лямбда с индексом m * x) = тут пояснение по-русски ((икс в степени k) умножить на е в степени (лямба эмтое умножить на икс).- Линейные уравнения с постоянными коэффициентами, случай кратных характеристических чисел.- Неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами. Поиск частного решения в нерезонансном случае.- Неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами. Поиск частного решения в резонансном случае.- Неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами. Поиск частного решения в вещественном случае.- Свойства нулей решения дифференциальных уравнений. Леммы 1 —2. Следствие.- Теорема сравнения Штурма. Замечания.- Следствия 1 — 4.- Зависимость решения от начальных значений и параметров. Лемма Адамара.- Теорема о непрерывной зависимости и дифференцируемости решений от параметров.- Следствие из теоремы о непрерывной зависимости и дифференцируемости решений. Получение задач для производных по параметру и начальным условиям.- Решений линейных дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов.