同调论

Description

本书是综合大学、高等师范院数学系研究生基础课教材，全书共分五章，系统讲述同调论的基本理论和方法。 本书的主线是奇异同调的理论框架和胞腔同调的计算方法，单纯同调作为胞腔同调的特殊情形来处理。前三章讲加法结构，基本上采取传统的讲法。第四章讲乘法结构，综合了奇异同调和胞腔同调这两个不同的角度。第五章流形的论述比较新颖，在胞腔流形上建立起互相对称的对偶剖分，给对偶定理提供了清晰的几何图景。这虽是古朴的思路，却是文献中所未见的。 本书在选材上注重概念、方法、结论、应用，充分反映同调论的核心内容；在内容处理上强调几何背景，举例丰富，图文并茂；在叙述上语言精炼而清晰易懂，注意各章节之间的联系呼应，便于教学与自学。每节配有适量的习题和思考题，以帮助读者理解和掌握。 本书可作为综合大学、高等师范院校数学研究生、高年级大学生的教材或教学参考书，也可供数学工作者阅读。 第一章奇异同调 1范畴与函子 1.1范畴 1.2协变函子 1.3反变函子 1.4简单的推论 2链复形与链映射 2.1链复形及其同调群 2.2链映射及其诱导同态 2.3链同伦 3奇异同调群 3.1奇异单形 3.2奇异链复形与奇异同调群 3.3简约奇异同调群 3.4奇异同调的同伦不变性 3.5与基本群的关系 3.6u—小奇异链 4Mayer—Vietoris同调序列 4.1同调代数的基本知识 4.2Mayer—Vietoris同调序列 5球面Sn的拓扑性质 5.1球面Sn的同调群 5.2球面映射的度 5.3Jordan—Brouwer分离性 6映射的简约同调序列 6.1贴空间 6.2映射的简约同调序列 6.3粘贴胞腔 6.4射影空间的同调群 第二章相对同调与上同调 1相对同调群 1.1空间偶的相对同调群 1.2切除定理 1.3空间三元组的同调序列 2局部同调群，局部定向与映射度 2.1局部同调群 2.2流形的局部定向 2.3胞腔和球面的定向 2.4有向球面的映射度 3带系数的同调群 3.1自由Abel群的张量积函子—G 3.2Abei群的张量积 33协变函子—G 3.4带系数的奇异链复形和奇异同调群 3.5Eilenberg—Steenrod公理 3.6简约同调群的公理 4上同调群 4.1同态群Hom（A，B） 4.2反变函子Hom（—，G） 4.3上链复形与上同调群 4.4奇异上同调群 4.5用上链直接描述 4.6上同调的Eilenberg—Steenrod公理 4.7上下同调群的Kronecker积 4.8域系数的奇异链群与同调群 4.9de Rham定理简介 第三章胞腔同调 1胞腔复形与胞腔映射 1.1胞腔复形 1.2胞腔映射 1.3拓扑空间的cw逼近 2胞腔链复形与胞腔链映射 3胞腔同调定理 3.1胞腔同调定理 3.2胞腔同调定理的推论 3.3带系数的胞腔同调与胞腔上同调 3.4单纯复形与单纯映射 3.5单纯链复形与单纯链映射 3.6有序单纯复形 4胞腔同调的计算 4.1胞腔的定向 4.2胞腔链群的基 4.3胞腔链映射的描述 4.4胞腔边缘同态的描述 4.5实射影空间的同调群 4.6乘积复形的胞腔链复形 5Euler示性数与Morse不等式 5.1有限生成Abel群的构造定理 5.2整数系数的情形 5.3域系数的情形 5.4Morse临界点理论介绍 6自由链复形 6.1自由Abel群的特殊性质 6.2自由链复形的特殊性质 6.3代数映射锥 6.4从同调同态构作链映射 6.5定理6.1的证明 7万有系数定理 7.1初等链复形的同调 7.2万有系数定理的朴素形式 7.3域系数的情形 7.4对偶配对与对偶基 第四章乘积 1复形的乘积 1.1自由链复形的张量积 1.2Kunneth公式 1.3胞腔复形的乘积 1.4下同调类的张量积 1.5上同调类的张量积 1.6上下同调类的斜积 1.7胞腔同调中，同调类的乘积 2胞腔上同调中的上积与卡积 2.1上积 2.2卡积 2.3闭单形的棱柱剖分 2.4Alexander—Whitney链映射 3奇异上同调中的乘法 3.1奇异上链的上积与卡积 3.2在上同调的水平上，上积与卡积的基本性质 3.3分次环与分次模，上同调环与下同调模 3.4上同调环的交换性 3.5准单纯复形中的上积与卡积 4实射影空间的上同调环，Borsuk—Ulam定理 4.1实射影空间的上同调环 4.2Borsuk—Ulam定理 5乘积空间的奇异同调 5.1积空间的奇异同调，Eilerlberg—Zilber定理 5.2奇异上同调的叉积 5.3乘积宅间的上积 5.4空间偶的乘积 6相对上同调的上积 6.1相对上同调的上积 6.2Ljusternik—Schnierelman畴数 …… 第五章流形 参考文献 记号表 索引