Mechanika Kwantowa. Skrypt dla studentów III–ego roku fizyki

Description

Skrypt dla studentów III–ego roku fizyki jakiejś gdańskiej uczelni. I CZĘŚĆ GŁÓWNA WYKŁADU 1 1 Cząstki i fale 1  1.1 Fale elektromagnetyczne i fotony - 1  1.2 Analiza doświadczenia interferencyjnego Young’a - 2  1.2.1 Eksperyment pierwszy – jedna szczelina otwarta - 2  1.2.2 Eksperyment drugi – obie szczeliny otwarte - 3  1.2.3 Dyskusja opisu korpuskularnego - 4  1.3 Dualizm korpuskularno–falowy - 6  1.3.1 Podsumowanie omawianych doświadczeń - 6  1.3.2 Kwantowa uni?kacja obu aspektów - 6  1.3.3 Dualizm korpuskularno–falowy - 7  1.4 Idea rozkładu spektralnego - 8  1.4.1 Dyskusja eksperymentu polaryzacyjnego - 8  1.4.2 Wnioski kwantowo-mechaniczne - 9 2 Funkcje falowe i równanie Schrödingera 12  2.1 Funkcja falowa - 12  2.2 Równanie Schrödingera - 13  2.2.1 Uwagi i komentarze - 14  2.2.2 Uzasadnienie równania Schrödingera - 15  2.2.3 Dalsze uwagi i komentarze - 17  2.2.4 Uogólnienie - 18  2.3 Własności funkcji falowych - 18  2.3.1 Probabilistyczna interpretacja funkcji falowej - 18  2.3.2 Gęstość i prąd prawdopodobieństwa - 20  2.4 Stacjonarne równanie Schrödingera - 22  2.4.1 Wprowadzenie - 22  2.4.2 Cząstka swobodna - 24  2.4.3 Stany związane i rozproszeniowe - 27  2.4.4 Warunki ciągłości dla funkcji falowych - 29 3 Podstawy formalizmu mechaniki kwantowej 30  3.1 Przestrzeń funkcji falowych i operatory - 30  3.1.1 Przestrzeń funkcji falowych – przestrzeń Hilberta - 30  3.1.2 Operatory na przestrzeni funkcji falowych - 32  3.1.3 Operatory hermitowskie - 36  3.2 Obserwable i pomiary - 38  3.2.1 Obserwable - 38  3.2.2 Wyniki pomiarów i ich prawdopodobieństwa - 38  3.3 Wartości oczekiwane - 44  3.3.1 Dyskusja dodatkowa- Dyspersje - 46  3.4 Konstrukcja operatorów – obserwabli - 48  3.4.1 Operatory położenia i pędu - 48  3.4.2 Zasada odpowiedniości - 49  3.4.3 Hamiltonian cząstki - 50  3.5 Nawiasy Poissona i relacje komutacyjne- Metoda kwantowania - 51 4 Równanie Schrödingera 53  4.1 Zachowanie normy wektora stanu – funkcji falowej - 53  4.2 Równanie Schrödingera dla układu konserwatywnego - 54  4.2.1 Ewolucja w czasie dla stanu stacjonarnego - 55  4.2.2 Normowanie stacjonarnej funkcji falowej (4.25) - 57  4.2.3 Stan początkowy – stan własny hamiltonianu - 58  4.2.4 Uwagi o zachowaniu energii - 59  4.3 Ewolucja wartości oczekiwanej obserwabli - 59  i6.03.2010 MECHANIKA KWANTOWA – Spis treści ii  4.3.1 hAi t – liczbowa funkcja czasu - 59  4.3.2 Równanie ruchu dla hAi t - 60  4.4 Twierdzenie Ehrenfesta - 61  4.4.1 Wyprowadzenie równań Ehrenfesta - 61  4.4.2 Dyskusja- Granica klasyczna - 63 5 Zasada nieoznaczoności 65  5.1 Formalna zasada nieoznaczoności - 65  5.1.1 Średnie i dyspersje- Pojęcia wstępne - 65  5.1.2 Zasada nieoznaczoności - 67  5.1.3 Warunki minimalizacji zasady nieoznaczoności - 67  5.2 Dyskusja i pewne zastosowania - 68  5.2.1 Ogólne sformułowanie - 68  5.2.2 Relacja nieoznaczoności położenie–pęd - 69  5.2.3 Zastosowanie do atomu w modelu Bohra - 70  5.3 Zasada nieoznaczoności energia – czas - 71 6 Ważny przykład – oscylator harmoniczny 73  6.1 Wprowadzenie - 73  6.2 Stacjonarne równanie Schrödingera dla oscylatora - 74  6.2.1 Zamiana zmiennych - 74  6.2.2 Zachowanie asymptotyczne - 76  6.2.3 Równanie dla funkcji f(?) - 77  6.3 Rozwiązanie via kon?uentna funkcja hipergeometryczna - 77  6.3.1 Kon?uentne równanie hipergeometryczne- Rozwiązanie - 77  6.3.2 Dyskusja rozwiązań - 78  6.3.3 Wielomiany Hermite’a- Funkcje własne - 80  6.3.4 Podsumowanie: funkcje i energie własne oscylatora - 81  6.4 Pewne zastosowania - 82  6.4.1 Element macierzowy operatora położenia - 82  6.4.2 Element macierzowy operatora pędu - 83  6.4.3 Elementy macierzowe h k | ^x 2 | n i oraz h k | ^p 2 | n i - 85  6.4.4 Zasada nieoznaczoności i energia stanu podstawowego - 85 7 Notacja Diraca 87  7.1 Abstrakcyjna przestrzeń wektorów stanu - 87  7.2 Kety i bra- Notacja Diraca - 88  7.3 Operatory liniowe - 89  7.3.1 Operatory, kety i bra - 89  7.3.2 Operator rzutowy - 90  7.4 Sprzężenia hermitowskie w notacji Diraca - 91  7.4.1 De?nicja operatora sprzężonego - 91  7.4.2 Własności sprzężenia hermitowskiego - 91  7.4.3 Uwagi dodatkowe i przykłady - 92  7.4.4 Notacja Diraca – reguły mnemotechniczne - 92  7.5 Operatory hermitowskie – obserwable - 93  8 Reprezentacje w przestrzeni stanów 94  8.1 De?nicja reprezentacji - 94  8.1.1 Intuicyjne wprowadzenie - 94  8.1.2 Relacje ortonormalności i zupełności - 95  8.2 Reprezentacje ketów, bra oraz operatorów - 96  8.2.1 Reprezentacje ketów i bra - 96  8.2.2 Reprezentacja iloczynu skalarnego - 97  8.2.3 Uwagi o normowaniu - 97  8.2.4 Reprezentacja | ? 0 i = ^A| ? i - 97  8.2.5 Reprezentacja iloczynu operatorów - 99  8.2.6 Elementy macierzowe operatora sprzężonego - 99  8.2.7 Wyrażenie dla h ? | ^A | ? i - 100  8.3 Operatory rzutowe i rozkład spektralny obserwabli - 100  8.3.1 Projektory jednowymiarowe - 101  8.3.2 Projektory wielowymiarowe - 101  8.3.3 Rozkład spektralny obserwabli - 102  8.4 Nowa terminologia - 103  8.4.1 Funkcje falowe w reprezentacji U - 103  8.4.2 Operatory w reprezentacji U - 104  8.4.3 Uwagi dodatkowe - 105 9. Reprezentacje położeniowa i pędowa 107  9.1 Reprezentacja położeniowa - 107  9.1.1 De?nicja reprezentacji położeniowej - 107  9.1.2 Funkcje falowe w reprezentacji położeniowej - 108  9.1.3 Operatory w reprezentacji położeniowej - 109  9.1.4 Operator pędu w reprezentacji położeniowej - 109  9.1.5 Zasada odpowiedniości w reprezentacji położeniowej - 111  9.2 Reprezentacja pędowa - 112  9.3 Związek między reprezentacjami |~r i i | ~p i - 113  9.3.1 Wprowadzenie - 113  9.3.2 Funkcje własne pędu w reprezentacji położeniowej - 114  9.3.3 Zmiana reprezentacji – pary fourierowskie - 116  9.3.4 Cząstka swobodna - 116  9.3.5 Kłopoty interpretacyjne - 117 10. Zupełny zbiór obserwabli komutujących 119  10.1 Twierdzenia matematyczne - 119  10.2 Zupełny zbiór obserwabli komutujących (ZZOK) - 122  10.3 Uwagi praktyczne - 123  11 Postulaty mechaniki kwantowej 125  11.1 Postulat 1: wektor stanu - 125  11.2 Postulat 2: obserwable - 126  11.3 Postulat 3: wyniki pomiarów – wartości własne obserwabli - 126  11.4 Postulat 4: prawdopodobieństwo wyników pomiarowych - 126  11.4.1 Przypadek widma dyskretnego bez degeneracji - 127  11.4.2 Przypadek widma dyskretnego z degeneracją - 127  11.4.3 Przypadek widma ciągłego - 128  11.5 Postulat 5: pomiar – redukcja wektora stanu - 129  11.6 Postulat 6: ewolucja w czasie – równanie Schrödingera - 130  12 Kwantowa teoria momentu pędu 131  12.1 Orbitalny moment pędu – wstęp - 131  12.1.1 Podstawowe de?nicje - 131  12.1.2 Relacje komutacyjne - 132  12.2 Ogólny operator moment pędu - 133  12.2.1 De?nicje i uwagi wstępne - 133  12.2.2 Relacje komutacyjne - 134  12.3 Wartości własne operatorów ~J 2 oraz J 3 = J z - 135  12.3.1 Wprowadzenie - 135  12.3.2 Wartość własna m jest ograniczona - 136  12.3.3 Własności J ± | j m i - 137  12.3.4 Wartości własne ~J 2 oraz J 3 = J z - 137  12.3.5 Podsumowanie - 139  12.4 Wektory własne operatorów ~J 2 oraz J 3 = J z - 139  12.4.1 Konstrukcja stanów | j m i - 139  12.4.2 Reprezentacja standardowa - 140  13 Orbitalny momentu pędu 142  13.1 Ogólne własności orbitalnego momentu pędu - 142  13.1.1 Przypomnienie wyników - 142  13.2 Wartości własne i wektory własne - 143  13.2.1 Elementy macierzowe - 143  13.3 Orbitalny moment pędu w reprezentacji położeniowej - 144  13.3.1 Współrzędne kartezjańskie i sferyczne - 144  13.3.2 Operatory L k we współrzędnych sferycznych - 145  13.3.3 Operator ~L 2 we współrzędnych sferycznych - 146  13.3.4 Wartości własne i funkcje własne ~L 2 i L 3 - 148  13.4 Harmoniki sferyczne - 150  13.4.1 Wprowadzenie - 150  13.4.2 Konstrukcja harmonik sferycznych - 150  13.4.3 Harmoniki sferyczne – zebranie informacji - 152 14. Stany stacjonarne w potencjale centralnym 155  14.1 Postawienie problemu - 155  14.1.1 Przypomnienie klasycznego problemu Keplera - 155  14.1.2 Hamiltonian kwantowo-mechaniczny - 157  14.2 Separacja zmiennych - 158  14.2.1 Zupełny zbiór obserwabli komutujących - 158  14.2.2 Radialne równanie Schrödingera - 159  14.2.3 Zachowanie się funkcji radialnych w r = 0 - 160  14.3 Podsumowanie - 161  14.3.1 Równanie radialne - 161  14.3.2 Liczby kwantowe - 162  14.3.3 Degeneracja zasadnicza i przypadkowa - 163  14.4 Zagadnienie dwóch ciał - 163  14.4.1 Separacja zmiennych w mechanice kwantowej - 163  14.4.2 Wartości i funkcje własne Hamiltonianu - 165 15. Atom wodoropodobny 168  15.1 Wprowadzenie - 168  15.2 Stabilność atomu - 169  15.2.1 Dyskusja klasyczna - 169  15.2.2 Dyskusja kwantowo-mechaniczna - 169  15.3 Kwantowo-mechaniczna teoria atomu wodoropodobnego - 170  15.3.1 Równanie radialne – dyskusja własności - 170  15.3.2 Rozwiązanie równania radialnego - 171  15.3.3 Dyskusja rekurencji i kwantowanie energii - 176  15.3.4 Funkcje radialne – ogólne sformułowanie - 177  15.4 Dyskusja uzyskanych rezultatów - 179  15.4.1 Rzędy wielkości parametrów atomowych - 179  15.4.2 Poziomy energetyczne- Główna liczba kwantowa - 179  15.4.3 Radialne funkcje falowe - 181  15.4.4 Jawne wyrażenia dla kilku pierwszych funkcji radialnych - 183  15.4.5 Podsumowanie - 184  15.5 Obliczanie średnich h r s i nl - 185  15.5.1 Wprowadzenie - 185  15.5.2 Kilka przypadków szczególnych - 186  15.5.3 Wzór rekurencyjny Kramersa dla średnich h r s i nl - 187 16 Oddziaływanie z polem elektromagnetycznym 189  16.1 Przybliżenie półklasyczne w mechanice kwantowej - 189  16.1.1 Hamiltonian - 189  16.1.2 Niezmienniczość ze względu na cechowanie - 191  16.1.3 Ciągłość prądu prawdopodobieństwa - 191  16.2 Cząstka bezspinowa w jednorodnym polu magnetycznym - 194  16.2.1 Wybór potencjału wektorowego - 194  16.2.2 Hamiltonian - 194  16.2.3 Dyskusja rzędów wielkości - 195  16.2.4 Interpretacja członu paramagnetycznego - 196  16.2.5 Interpretacja członu diamagnetycznego - 198  16.3 Normalny efekt Zeemana dla atomu wodoropodobnego - 198  16.3.1 Poziomy energetyczne - 198 17 Teoria spinu 1/2 201  17.1 Wprowadzenie – braki dotychczasowej teorii - 201  17.2 Postulaty teorii Pauliego - 202  17.3 Macierze Pauliego i operatory spinu 1/2 - 204  17.4 Nierelatywistyczny opis cząstki o spinie 1/2 - 207  17.4.1 Wektory stanu – spinory - 207  17.4.2 Operatory i ich działanie na spinory - 208  17.4.3 Obliczanie prawdopodobieństw i wartości oczekiwanych - 209 18 Dodawanie momentów pędu 211  18.1 Całkowity moment pędu - 211  18.1.1 Przypomnienie z mechaniki klasycznej - 211  18.1.2 Przykład kwantowo-mechaniczny - 211  18.1.3 Oddziaływanie spin-orbita – dyskusja wstępna - 213  18.2 Dodawanie dwóch momentów pędu - 214  18.2.1 Dyskusja i wprowadzenie - 214  18.2.2 Podstawowe własności operatora ~J = ~ j 1 + ~ j 2 - 216  18.2.3 Wartości własne (liczby kwantowe) J oraz M - 217  18.2.4 Wektory własne operatorów ~J 2 i J 3 - 219  18.3 Współczynniki Clebscha-Gordana (CG) - 224  18.3.1 Wprowadzenie - 224  18.3.2 Własności współczynników CG - 225 19 Stacjonarny rachunek zaburzeń 231  19.1 Istota problemu - 231  19.2 Rachunek zaburzeń dla stanu niezdegenerowanego - 233  19.2.1 Wprowadzenie - 233  19.2.2 Formalizm matematyczny - 234  19.2.3 Poprawki pierwszego rzędu - 235  19.2.4 Poprawki drugiego rzędu do energii - 237  19.2.5 Dyskusja uzyskanych rezultatów - 238  19.3 Rachunek zaburzeń dla stanu zdegenerowanego - 239  19.3.1 Wprowadzenie - 239  19.3.2 Formalizm rachunku zaburzeń z degeneracją - 240  19.3.3 Dyskusja macierzy zaburzenia - 242  19.3.4 Rachunek zaburzeń z degeneracją – podsumowanie - 244 20 Rachunek zaburzeń z czasem 245  20.1 Przybliżone rozwiązanie równania Schrödingera - 245  20.1.1 Zagadnienie stacjonarne – przypomnienie - 245  20.1.2 Wpływ zewnętrznego zaburzenia- Prawdopodobieństwo przejścia - 246  20.1.3 Prawdopodobieństwo przejścia w pierwszym rzędzie rachunku zaburzeń - 248  20.2 Zaburzenie harmoniczne - 250  20.2.1 Prawdopodobieństwo przejścia - 250  20.2.2 Własności funkcji pomocniczych - 252  20.2.3 Prawdopodobieństwo przejścia- Przybliżenie rezonansowe - 255  20.2.4 Zaburzenie stałe w czasie - 257  20.2.5 Szerokość rezonansu i zasada nieoznaczoności - 258  20.2.6 Warunki stosowalności - 258  20.2.7 Podsumowanie - 260  20.3 Sprzężenie ze stanami z continuum - 260  20.3.1 Dyskusja problemu - 260  20.3.2 Złota reguła Fermiego - 262 21 Oddziaływanie atomów z falą elektromagnetyczną 263  21.1 Prosta dyskusja zjawisk optycznych - 263  21.1.1 Gęstość modów we wnęce - 263  21.1.2 Rozkład Plancka - 264  21.1.3 Współczynniki A i B Einsteina - 266  21.2 Oddziaływanie atomu z falą elektromagnetyczną - 269  21.2.1 Hamiltonian oddziaływania - 269  21.2.2 Prawdopodobieństwo przejścia, cz- I - 272  21.2.3 Prawdopodobieństwo przejścia, cz- II - 274  21.2.4 Reguły wyboru - 276  21.2.5 Współczynniki A i B Einsteina - 279  21.2.6 Stosowalność rachunku zaburzeń - 280  II ROZDZIAŁY UZUPEŁNIAJĄCE I ĆWICZENIOWE 282 22 (U.1) Cząstki i fale 283  22.1 Doświadczenia z polaryzacją fotonu - 283  22.1.1 Przypomnienie - 283  22.1.2 Trzy polaryzatory - 284 23 (U.2) Funkcje falowe i równanie Schrödingera 286  23.1 Równanie Kleina–Gordona - 286  23.2 Jednowymiarowe równanie Schrödingera - 286  23.2.1 Ogólne omówienie - 286  23.2.2 U(x) – funkcja parzysta - 288  23.3 Jednowymiarowa, nieskończona studnia potencjału - 289  23.3.1 Wprowadzenie - 289  23.3.2 Rozwiązanie równania Schrödingera - 290  23.3.3 Funkcje falowe - 291  23.3.4 Podsumowanie - 292  23.4 Jednowymiarowa, skończona studnia potencjału - 292  23.4.1 Wprowadzenie - 292  23.4.2 Stany związane - 293  23.4.3 Stany rozproszeniowe - 300  23.4.4 Rozpraszanie niskoenergetyczne - 304  23.5 Cząstka swobodna i pakiet falowy - 309  23.5.1 Pakiet falowy - 309  23.5.2 Pakiet gaussowski - 310  23.5.3 Ewolucja pakietu gaussowskiego - 312  23.5.4 Dyskusja - 315 24 (U.3) Podstawy formalizmu mechaniki kwantowej 317  24.1 Wartości oczekiwane i dyspersje dla stanu superponowanego - 317  24.1.1 Założenia wstępne - 317  24.1.2 Obliczenia elementów macierzowych - 318  24.1.3 Dyspersja energii - 318  24.2 Pomiary i stany pośrednie - 319  24.2.1 Doświadczenie 1: dwa kolejne pomiary - 319  24.2.2 Doświadczenie 2: bez stanu pośredniego - 321  24.2.3 Dyskusja - 321 25 (U.4) Równanie Schrödingera 323  25.1 Pakiet falowy – raz jeszcze - 323  25.1.1 Wartości oczekiwane h x i i h x 2 i - 323  25.1.2 Wartości oczekiwane h p i i h p 2 i - 324  25.2 Uogólnione twierdzenie o wiriale - 326 26 (U.5) Zasada nieoznaczoności 327  26.1 Pakiet falowy minimalizujący zasadę nieoznaczoności - 327  26.1.1 Wyprowadzenie postaci pakietu - 327  26.1.2 Dyskusja wyników - 329  26.2 Dyskusja doświadczenia interferencyjnego - 329 27 (U.6) Oscylator harmoniczny 332  27.1 Rozwiązanie przez rozwinięcie w szereg - 332  27.1.1 Ogólna postać rozwiązań - 332  27.1.2 Dyskusja rozwinięć- Kwantowanie energii - 333  27.2 Alternatywna postać funkcji falowych - 335  27.3 Szacowanie energii stanu podstawowego z zasady nieoznaczoności - 337  27.4 Operatory anihilacji i kreacji- Oscylator harmoniczny - 339  27.4.1 Operatory anihilacji i kreacji – ogólna teoria - 339  27.4.2 Operatory anihilacji i kreacji – podsumowanie - 343  27.4.3 Zastosowanie do oscylatora harmonicznego - 344 28. (U.7) Notacja Diraca 350  28.1 Przestrzeń dualna- Pojęcie bra - 350  28.2 Operatory i ich sprzężenia - 351 29. (U.8) Reprezentacje w przestrzeni Hilberta 354  29.1 Reprezentacje – dyskusja praktyczna - 354  29.1.1 Wprowadzenie - 354  29.1.2 Dyskusja zagadnień praktycznych - 355  29.1.3 Dowolny stan | ? i - 356  29.1.4 Uwagi końcowe - 358  29.2 Zmiany reprezentacji - 358  29.2.1 Dwie reprezentacje: "stara" i "nowa" - 358  29.2.2 Własności transformacji - 359  29.2.3 Uwagi końcowe - 362 30 (U.9) Reprezentacje położeniowa i pędowa 363  30.1 Operator pędu w reprezentacji położeniowej- Twierdzenie pomocnicze - 363  30.2 Funkcje falowe oscylatora harmonicznego w reprezentacji pędowej - 364 31 (U.10) Ewolucja układów kwantowych w czasie 367  31.1 Równanie Schrödingera i operator ewolucji - 367  31.1.1 Podstawowe de?nicje - 367  31.1.2 Własności operatora ewolucji - 367  31.1.3 Postać operatora ewolucji - 369  31.2 Obraz Schrödingera - 370  31.3 Obraz Heisenberga - 371  31.3.1 Wektor stanu w obrazie Heisenberga - 371  31.3.2 Operatory w obrazie Heisenberga - 371  31.3.3 Ewolucja operatora w obrazie Heisenberga - 372  31.3.4 Pewne dodatkowe własności obrazu Heisenberga - 373  31.4 Obraz oddziaływania - 374  31.4.1 Wektor stanu w obrazie oddziaływania - 375  31.4.2 Równanie Schrödingera w obrazie oddziaływania - 375  31.4.3 Operatory i ich ewolucja w obrazie oddziaływania - 376  31.5 Ewolucja stanu układu w obrazie oddziaływania - 378  31.5.1 Postawienie problemu - 378  31.5.2 Rozwiązanie iteracyjne - 378  31.6 Interpretacja szeregu iteracyjnego - 379 32. (U.11) Obroty i moment pędu 382  32.1 Wprowadzenie - 382  32.2 Podstawowe własności obrotów w R 3 - 383  32.2.1 Obrót wektora - 383  32.2.2 Obroty in?nitezymalne - 385  32.2.3 Własności obrotów - 385  32.3 Operatory obrotów w przestrzeni stanów (bez spinu) - 385  32.3.1 De?nicja operatora obrotu - 385  32.3.2 Własności operatora obrotu - 386  32.3.3 Transformacja obserwabli - 387  32.4 Obroty i momentu pędu - 388  32.4.1 Obrót in?nitezymalny - 388  32.4.2 Operator skończonego obrotu i moment pędu - 390  32.4.3 Transformacje obserwabli - 390  32.5 Relacje komutacyjne - 390  32.6 Uwagi końcowe - 393  32.6.1 Całkowity moment pędu - 393  32.6.2 Niezmienniczość przy obrotach - 393 33. (U.12) Potencjał centralny 396  33.1 Układ środka masy i ruch względny- Przypomnienie z ?zyki klasycznej - 396  33.2 Model molekuły dwuatomowej- Potencjał Kratzera - 398  33.2.1 Wprowadzenie - 398  33.2.2 Radialne równanie Schrödingera - 399  33.2.3 Pełna funkcja falowa - 402  33.2.4 Kwantowanie energii - 403  33.2.5 Rozwinięcie potencjału w otoczeniu r min = a - 405  33.2.6 Dyskusja przybliżonego wyrażenia dla E nl - 406  33.2.7 Wartość h r i w stanie podstawowym - 407 34. (U.13) Atom wodoropodobny 409  34.1 Model Bohra – przypomnienie - 409  34.1.1 Postulaty Bohra - 409  34.1.2 Obliczenia E n i r n - 410  34.2 Pęd radialny w atomie wodoropodobnym - 411  34.2.1 Uwagi wstępne - 411  34.2.2 Pęd radialny - 412  34.2.3 Równania ruchu dla wielkości radialnych - 413  34.3 Wzór rekurencyjny Kramersa dla h r s i nl - 413  34.3.1 Zastosowanie twierdzenia o wiriale - 414  34.3.2 Wykorzystanie równań ruchu dla wielkości radialnych - 414  34.3.3 Pomocnicze wartości oczekiwane - 415  34.3.4 Ostatni etap obliczeń - 416 35. (U.14) Oddziaływanie z polem elektromagnetycznym 418  35.1 Przypomnienie ?zyki klasycznej - 418  35.1.1 Równania Lagrange’a - 418  35.1.2 Potencjał uogólniony U e dla cząstki w polu - 419  35.1.3 Formalizm kanoniczny (hamiltonowski) - 420  35.1.4 Krótka uwaga o cechowaniu - 421  35.1.5 Hamiltonian cząstki klasycznej - 422  35.2 Niezmienniczość ze względu na cechowanie - 422  35.2.1 Niezmienniczość równania Schrödingera - 422  35.2.2 Niezmienniczość prądu prawdopodobieństwa - 426  35.3 Cechowanie i mechanika kwantowa - 427  35.3.1 Uwagi wstępne - 427  35.3.2 Transformacja wektora stanu - 428  35.3.3 Ewolucja wektora stanu - 429 36. (U.15) Spin 432  36.1 Własności momentu pędu – spinu 1/2 - 432  36.1.1 Sformułowanie abstrakcyjne - 432  36.1.2 Spin 1/2 w dowolnym kierunku - 433  36.2 Nierelatywistyczny opis cząstki o spinie s - 437  36.2.1 Wektory stanu – spinory - 437  36.3 Przykłady operatorów dla s = 1, 2 - 438  36.4 Spin 1/2 w polu magnetycznym - 440  36.4.1 Wprowadzenie - 440  36.4.2 Pole statyczne i pole zmienne w czasie - 441  36.4.3 Równanie Schrödingera - 442  36.4.4 Pole statyczne- Precesja Larmora - 446  36.4.5 Oscylacje Rabiego - 447  36.4.6 Widmo Mollowa - 449  36.5 Pewne własności macierzy Pauliego - 451 37. (U.16) Dodawanie momentów pędu 453  37.1 Złożenie orbitalnego momentu pędu i spinu 1/2 - 453  37.1.1 Przejście do bazy sprzężonej - 453  37.1.2 Obliczenia współczynników CG - 454  37.1.3 Stany bazy sprzężonej w reprezentacji położeniowej - 460  37.1.4 Przykład zastosowania: l = 1 i s = 1 2 461  37.1.5 Stany bazy niesprzężonej via stany sprzężone - 462  37.1.6 Unitarność współczynników Clebscha–Gordana - 463  37.1.7 Przykład zastosowania - 464 38 (U.17) Stacjonarny rachunek zaburzeń 467  38.1 Komentarze do ogólnej teorii - 467  38.1.1 Rachunek zaburzeń dla stanu niezdegenerowanego - 467  38.1.2 Rachunek zaburzeń dla stanu zdegenerowanego - 473  38.2 Struktura subtelna w atomie wodoropodobnym - 474  38.2.1 Hamiltonian i jego dyskusja - 474  38.2.2 Poprawka do energii kinetycznej - 477  38.2.3 Oddziaływanie spin-orbita - 481  38.2.4 Struktura subtelna - 487 39 (U.18) Metoda wariacyjna 490  39.1 Metoda wariacyjna - 490  39.1.1 Uwagi wstępne - 490  39.1.2 Twierdzenia pomocnicze - 490  39.1.3 Funkcjonał E(?) szacuje energię od góry - 492  39.1.4 Procedura obliczeń metodą wariacyjną - 494  39.2 Przykład: energia stanu podstawowego atomu helopodobnego - 494  39.2.1 Omówienie problemu - 494  39.2.2 Wybór funkcji próbnej- Konstrukcja funkcjonału E(?) - 495  39.2.3 Dyskusja wyników - 500  39.2.4 Pierwszy rząd rachunku zaburzeń - 501 40 (U.19) Zaburzenia zależne od czasu 504  40.1 Rachunek zaburzeń zależny od czasu - 504  40.1.1 Omówienie problemu - 504  40.1.2 Przybliżona ewolucja wektora stanu - 504  40.1.3 Prawdopodobieństwo przejścia - 505  40.2 Atom wodoru w zmiennym polu elektrycznym - 507  40.2.1 Wprowadzenie - 507  40.2.2 Prawdopodobieństwo przejścia – obliczenia - 508  40.2.3 Prawdopodobieństwo przejścia | 1, 0, 0 i › | 2, l, m i - 511  40.2.4 Stosowalność rachunku zaburzeń - 511  40.3 Przybliżenie sekularne - 512  40.3.1 Uwagi wstępne - 512  40.3.2 Stany istotne w okolicach rezonansu - 513  40.3.3 Zaniedbanie stanów nierezonansowych - 514  40.3.4 Zaniedbanie składników szybko oscylujących - 514  40.3.5 Rozwiązanie równań - 516 III DODATKI MATEMATYCZNE 518  A Kon?uentna funkcja hipergeometryczna 519  B Wielomiany Hermite’a i ich własności 522  B.1 De?nicje - 522  B.2 Relacje rekurencyjne i równanie różniczkowe Hermite’a - 523  B.3 Całki z wielomianami Hermite’a - 524  B.4 Inne sposoby obliczania całek - 527  C Harmoniki sferyczne 528  C.1 Wprowadzenie - 528  C.1.1 Całka normalizacyjna I p (n) - 528  C.2 Wyprowadzenie postaci Y l m (?, ?) dla m < l - 530  C.2.1 Zastosowanie operatora obniżającego - 530  C.2.2 Operator (L - /~) k w reprezentacji położeniowej - 531  C.2.3 Harmoniki Y l m (?, ?) - 533  C.3 Jawne obliczenia pewnych harmonik sferycznych - 533  C.4 Inny sposób konstrukcji - 535  C.5 Harmoniki i ich sprzężenia zespolone - 537  C.6 Relacja rekurencyjna dla harmonik sferycznych - 538  D Wielomiany Legendre’a, itp- 543  D.1 Wielomiany Legendre’a - 543  D.2 Stowarzyszone funkcje Legendre’a - 545  D.3 Harmoniki sferyczne - 546  D.3.1 Związek ze stowarzyszonymi funkcjami Legendre’a - 546  D.3.2 Parzystość harmonik sferycznych - 547  D.3.3 Harmoniki sferyczne to funkcje własne ~L 2 i L z - 547  E Uwagi o wielomianach Laguerre’a 549  E.1 Podstawy – de?nicje - 549  E.2 Całki z wielomianami Laguerre’a - 550  IV ZADANIA DOMOWE 555  Seria 1 - 556  Seria 2 - 558  Seria 3 - 560  Seria 4 - 562  Seria 5 - 565  Seria 6 - 567  Seria 7 - 569  Seria 8 - 571  Seria 9 - 573  Seria 10 - 575  Skorowidz