曲面とベクトル解析

Description

理工系で学ぶ「ベクトル解析」と「曲線・曲面」について、両者の関連性に着目しつつ解説。微分形式の具体例と応用にも触れる。 はじめに 本書で用いる記号 目次 第1章　ベクトルと微分積分の基本 1.1 幾何ベクトル 1.2 内積 1.3 外積 1.4 右手系，左手系 1.5 ベクトルの微分・積分 1.6 ベクトルの1次独立性と外積 演習問題 A 1.1-1.2 A 1.3 第2章　曲線 2.1 平面曲線 2.2 弧長バラメータ 2.3 フレネ-セレの公式（平面曲線の場合） 2.4 曲率の意味 2.5 空間曲線 2.6 フレネ-セレの公式（空間曲線の場合） 2.7 空間曲線の捩率の意味 2.8 曲線の長さ 演習問題 A 2.1-2.2 A 2.3 第3章　曲面 3.1 曲面 3.2 曲面の面積 3.3 主曲率とガウス曲率および平均曲率 3.4 基本形式 演習問題 A 3.1 A 3.2 第4章　ベクトル場とその演算 4.1 ベクトル場とは 4.2 勾配ベクトル場 4.3 ベクトル場の発散 4.4 ベクトル場の回転 4.5 ベクトル場の演算 4.6 ベクトル場の種々の公式 演習問題 A 4.1 A 4.2-4.4 第5章　ベクトル場の積分 5.1 線積分 5.2 面積分 5.3 平面上の積分定理 5.4 空間上の積分定理 5.5 積分定理の証明（特別な領域の場合） 演習問題 A 5.1 A 5.2-5.3 第6章　ベクトル解析と物理学 6.1 スカラーポテンシャルとエネルギー保存則 6.2 ベクトルポテンシャルとビオ-サバールの法則 6.3 質量保存則とガウスの発散定理 6.4 電磁気学のマクスウェルの方程式 演習問題 A 6.1-6.2 A 6.3-6.4 第7章　双対空間と微分形式 7.1 ベクトル空間の基底 7.2 ベクトル場のなすベクトル空間 7.3 双対空間 7.4 双対空間と1次微分形式 7.5 2次および3次の微分形式 7.6 微分形式の外積 7.7 双対空間の双対 演習問題 A 7.1-7.2 A 7.3-7.4 第8章　外微分とベクトル場 8.1 外微分 8.2 ホッジのスター作用素 8.3 外微分とベクトル場 8.4 ポアンカレの補題 演習問題 A 8.1-8.3 第9章　積分定理の証明 9.1 微分形式の引き戻し 9.2 微分形式の積分 9.3 積分定理の書き換え 9.4 ストークスの定理の証明 演習問題 A 9.1-9.2 第10章　曲面の幾何 10.1 閉曲面のオイラー標数とベクトル場の指数 10.2 ガウス-ボンネの定理とポアンカレ-ホップの指数定理 10.3 定理の証明 演習問題 A 10.1 A 10.2-10.4 付録 参考文献 演習問題の解答 索引