Краткий курс теории вероятностей и математической статистики

Description

Книга содержит систематическое изложение основ теории вероятностей и математической статистики. В первой части изложены следующие разделы теории вероятностей: основные понятия, схема Бернулли, случайные величины и их распределения, численные характеристики случайных величин, предельные теоремы, включая закон больших чисел, центральную предельную теорему и теорему Пуассона. Вторая часть охватывает основные разделы математической статистики: выборочные распределения и их характеристики, точечное и интервальное оценивание параметров распределений, методы построения оценок параметров, общие понятия теории проверки гипотез и различные критерии для проверки гипотез согласия, независимости и однородности, ранговые статистики и критерии, оценивание параметров и проверка гипотез о параметрах линейных статистических моделей. Это минимум тех сведений, которые дают общее представление о данных предметах при первом знакомстве. Книга рассчитана на студентов ссузов, обучающихся по специальностям, требующим знания основ теории вероятностей и математической статистики. Предисловие Часть I. Теория вероятностей Глава 1. Основные понятия теории вероятностей 1.1. Аксиомы теории вероятностей 1.2. Свойства вероятности 1.3. Классическое определение вероятности 1.4. Дискретные вероятностные пространства 1.5. Геометрические вероятности 1.6. Условные вероятности 1.7. Формулы полной вероятности и Байеса 1.8. Независимость событий 1.9. Независимость экспериментов Глава 2. Схема Бернулли 2.1. Испытания Бернулли 2.2. Предельные теоремы для схемы Бернулли 2.3. Задача о разорении игрока 2.4. Полиномиальная схема Глава 3. Случайные величины и их распределения 3.1. Случайная величина, ее функция распределения и распределение 3.2. Типы распределений случайных величин 3.3. Случайные векторы 3.4. Независимые случайные величины 3.5. Суммирование независимых случайных величин 3.6. Распределения, связанные с нормальным законом Глава 4. Численные характеристики случайных величин 4.1. Интеграл по вероятностной мере 4.2. Математическое ожидание 4.3. Дисперсия 4.4. Примеры вычисления средних и дисперсий 4.5. Моменты 4.6. Ковариация и коэффициент корреляции 4.7. Неравенство Чебышёва Глава 5. Предельные теоремы теории вероятностей 5.1. Виды сходимостей последовательностей случайных величин 5.2. Закон больших чисел 5.3. Метод характеристических функций 5.4. Центральная предельная теорема 5.5. Теорема Хинчина о законе больших чисел 5.6. Теорема Пуассона Глава 6. Дополнение 6.1. Мера и интеграл 6.2. Теорема Колмогорова о согласованных распределениях 6.3. Формула обращения и теорема единственности 6.4. Сходимость почти наверное и лемма Бореля — Кантелли 6.5. Усиленный закон больших чисел Часть II. Математическая статистика Глава 1. Введение в математическую статистику 1.1. Предмет математической статистики 1.2. Задачи математической статистики Глава 2. Выборочные распределения 2.1. Выборочные распределения и их характеристики Глава 3. Точечное оценивание 3.1. Оценки параметров и их свойства 3.2. Свойства выборочных среднего и дисперсии 3.3. Неравенство Рао — Крамера и эффективные оценки 3.4. Построение оценок по методу моментов 3.5. Построение оценок по методу максимального правдоподобия 3.6. Выборочные среднее и дисперсия гауссовской выборки Глава 4. Интервальное оценивание 4.1. Доверительные интервалы и центральные статистики 4.2. Доверительные интервалы для параметров нормального закона 4.3. Построение доверительных интервалов с помощью заданной статистики Глава 5. Проверка гипотез 5.1. Основные понятия 5.2. Лемма Неймана — Пирсона 5.3. Связь между проверкой гипотез и доверительными интервалами 5.4. Критерии согласия 5.5. Критерий согласия хи-квадрат 5.6. Критерии согласия Колмогорова и омега-квадрат 5.7. Критерий хи-квадрат для проверки независимости признаков 5.8. Критерий хи-квадрат для проверки гипотезы однородности 5.9. Критерий Смирнова однородности двух выборок 5.10. Проверка гипотез о параметрах двух гауссовских выборок 5.11. Выборочная корреляция 5.12. Ранговые критерии. Критерий Вилкоксона 5.13. Ранговая корреляция Глава 6. Линейные модели 6.1. Введение 6.2. Вспомогательные результаты 6.3. Метод наименьших квадратов 6.4. Простая линейная регрессия 6.5. Однофакторный дисперсионный анализ Глава 7. Дополнение 7.1. Теорема Гливенко — Кантелли 7.2. Гистограмма 7.3. Многомерное нормальное распределение Предметный указатель Литература