Элементарная математика для школьников, студентов и преподавателей

Description

М.: МНЦМО, 2009. — 384 с.Книга состоит из десяти глав, названия большинства из которых вполне традиционны для книг, предназначенных для факультативных занятий по математике. В книге приведены более трехсот задач, большая часть которых предлагается читателю для самостоятельного решения. Однако в каждой из глав рассматриваются не только элементарные задачи, но и связанная с ними теория. Для старшеклассников школ с углубленным изучением математики и их учителей, студентов математических факультетов университетов и их преподавателей, а также всех, кто интересуется математикой и ее преподаванием.Индукция. Рассуждения «по индукции». Метод математической индукции. Принцип математической индукции. Аксиоматика Пеано. Сложение, порядок и умножение. Число элементов множества. Комбинаторика. Элементарные задачи. Числа сочетаний и рекуррентные соотношения. Задача о перечислении графов. Перестановки, размещения, сочетания. Метод производящих функций. Рекуррентные соотношения и свойства степенных рядов. Теорема Эйлера. Числа Каталана. Число ячеек n-мерного пространства. Целые числа. Элементарные задачи на делимость. Алгоритм Евклида. Сравнения по модулю и кольца вычетов. Теоремы Ферма и Эйлера. Распределение простых чисел. Арифметические функции. Алгебраические уравнения над кольцами вычетов. Шифры с открытым ключом. Множество целых чисел. Кольца, поля, группы. Геометрические преобразования. Параллельный перенос, поворот и симметрии в задачах. Композиции в задачах. Группа движений плоскости. Алгебраические свойства геометрических фигур. Координатные представления геометрических преобразований. Орнаменты. Неравенства. Средние двух чисел. Неравенства и тождественные преобразования. Неравенство Коши—Буняковского. Неравенство Коши. Теорема Мюрхеда. Различные доказательства неравенства Коши. Неравенство Йенсена. Классические неравенства и геометрия. Нормы и шары в R. Интегральные варианты классических неравенств. Графы. Начало теории графов. Понятия и определения. Паросочетания. Деревья. Формула Эйлера и эйлерова характеристика. Формула Пика. Теорема Жордана. Графы для самых маленьких. Двоичные кучи. Принцип Дирихле. Клетки и кролики. Комбинаторные теоремы существования. Плотные подмножества в R. Лемма Минковского. Суммы двух и четырех квадратов. Комплексные числа и многочлены. Многочлены: делимость и разложения на множители. Определение поля комплексных чисел. Комплексные числа в задачах. Комплексные числа и геометрия. Доказательство Конна теоремы Морли. Основная теорема высшей алгебры и «единственность» поля С. Формула Эйлера. Быстрое преобразование Фурье. Рациональные приближения. Хорошие приближения числа V2 Задача о саде и ряды Фарея. Цепные дроби. Квадратичные иррациональности. Поле Q и поля частных. Числа алгебраические и трансцендентные. Математика и компьютер. Введение в предмет. Визуализация математических фактов и методов. Анализ результата, или: «Как сделать открытие». Хаос, хаос. Вместо заключения: обучение поиску решения задач, или фантазии в манере Пойа. Решения дополнительных задач.