Cálculo Tensorial

Description

1 Espaços Vetoriais 1 1.1 Noção de espaço Vetorial . . . . . . . . . . . 1 1.2 Bases de um espaço Vetorial . . . . . . . . . 6 1.3 Isomorñmos..................10 1.4 Mudanças de Coordenadas . . . . . . . . . . 15 1.5 Espaço Dual..................17 1.6 Subespaços..................23 1.7 Espaços Euclidianos . . . . . . . . . . . . . 25 1.8 Soma diretae produto cartesiano . . . . . . 32 1.9 Relação entre transformações lineares e matrizes....36 2 Álgebra Multilinear 46 2.1 Aplicações bilineares . . . . . . . . . . . . . 46 2.2 Produtos tensoriais . . . . . . . . . . . . . . 51 2.3 Alguns isomorñsmos canônicos . . . . . . . . 57 2.4 Produto tensorial de aplicações lineares.........64 2.5 Mudança de Coordenadas de um tensor.............69 2.6 Produto tensorial de Vários espaços Vetoriais 70 2.7 A Álgebra tensorialT(V) . . . . . . . . . . 76 3 Álgebra Exterior 84 3.1 Aplicações multilineares alternadas . . . . . 87 3.2 Determinantes.................95 3.3 Potências exteriores de um espaço Vetorial . 103 3.4 Algumas aplicações do produto exterior . . . 110 3.5 Formas exteriores . . . . . . . . . . . . . . . 119 3.6 Potência exterior de uma aplicação linear . . 123 3.7 Álgebra de Grassmann . . . . . . . . . . . . 126 3.8 Produtos interiores . . . . . . . . . . . . . . 132 3.9 Observações sobre a álgebra simétrica . . . . 140 4 Formas Diferenciais 145 4.1 Variedades diferenciáveis . . . . . . . . . . . 145 4.2 Aplicações diferenciáveis . . . . . . . . . . . 151 4.3 Subvariedades.................161 4.4 Campos de tensores sobre Variedades . . . . 164 4.5 Variedades riemannianas . . . . . . . . . . . 168 4.6 Diferencial exterior . . . . . . . . . . . . . . 172 4.7 Variedades orientáveis . . . . . . . . . . . . 180 4.8 Partição diferenciável da unidade . . . . . . 188 4.9 Integralde uma forma diferencial . . . . . . 198 4.10 TeoremadeStokes ..............207 5 Sistemas Diferenciais 226 5.1 O Colchete de Lie de 2 Campos Vetoriais . . . 226 5.2 Relações entre colchetes e fluxos . . . . . . . 232 5.3 Sistemas diferenciais . . . . . . . . . . . . . 238