Lineare Algebra I: Wintersemester 2020

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Mathematische Grundlagen Aussagen Definition und Beispiele Zusammensetzung und Verneinung Aussageformen und Prädikatenlogik Logische Äquivalenzen und Tautologien Sprachliche Konventionen Mengen Definition und Beispiele Quantifizierte Aussagen Konstruktion von Mengen Indexmengen Mengenpartitionen Beweisprinzipien Direkter Beweis Indirekter Beweis durch Kontraposition Indirekter Beweis durch Widerspruch Vollständige Induktion Abbildungen Definition und Beispiele Bild, Urbild und Faser Injektive, surjektive und bijektive Abbildungen Einschränkungen Komposition von Abbildungen Umkehrabbildung Mächtigkeit von Mengen Selbstabbildung = Abbildung einer Menge in sich Relationen Definition und Beispiele Partielle Ordnungen Äquivalenzrelationen Die Kategorie der Mengen Monoide, Gruppen, Ringe und Kategorien Kategorie der Monoide Verknüpfungen Monoide Untermonoide Morphismen von Monoiden Erzeugung von Untermonoiden und von Monoiden Freie Monoide Freiabelsche Monoide Abbildungsmonoide Kategorie der Gruppen Gruppen Untergruppen Morphismen von Gruppen Erzeugung von Untergruppen und von Gruppen Freiabelsche Gruppen Gruppenmorphismen Abelscher Gruppen Kategorie der Ringe Ringe Endomorphismenring Körper Teilringe Ringmorphismen Potenzreihenring Polynomring Multivariate Polynomringe Erzeugung von Teilringen und Ringen Monoidringe Freie kommutative Ringe Reguläre Elemente, Nullteiler und Bereiche Euklidische Bereiche Teilbarkeit in kommutativen Ringen Euklidische Bereiche sind Bézout-Bereiche Kategorie der Kategorien Köcher Teilköcher Funktoren von Köchern Kategorien Teilkategorien Eigenschaften von Morphismen Funktoren (von Kategorien) Erzeugnung von Teilkategorien und von Kategorien Gruppoide Skeletale Kategorien Gleichungen in Kategorien Präadditive Kategorien Präadditive Kategorie der Matrizen über einem Ring Präadditive Teilkategorien präadditiver Kategorien Additive Funktoren präadditiver Kategorien Natürliche Transformationen Darstellbare Funktoren Adjungierte Funktoren Subobjekte Gleichungen in Matrixkategorien Lift- und Colift-Probleme in Matrixkategorien Motivierendes Beispiel Lineare Gleichungssysteme Matrixkategorien über Euklidischen Bereichen Erweiterter Euklidischer Algorithmus Gauss-Algorithmus für 2 1-Matrizen Matrixkategorien über Bézout-Bereichen Matrix-Charakterisierung von Bézout-Bereichen Der Bézout-Euklid-Gauss-Hermite-Algorithmus für Spalten Der Bézout-Euklid-Gauss-Hermite-Algorithmus (REF) Die Zeilenstufenindizes sind `39`42`"613A``45`47`"603AGLm(R)-invariant Rang von Matrizen über Bézout-Bereichen Kern-Matrix Lösung von linearen Gleichungssystemen Notwendiges Lösbarkeitskriterium Der Euklid-Gauss-Hermite-Algorithmus (RREF) Rang von Matrizen über Integritätsbereichen Lösen über Ringen Lösen über Körpern Lösen über Euklidischen Bereichen Die Kategorie der R-Moduln und der K-Verktorräume R-Moduln und K-Vektorräume R-Moduln und K-Vektorräume R-Teilmoduln und K-Teilräume Erzeugung von Teilmoduln und von Moduln Freie R-Moduln Endlich erzeugte R-Moduln Endlich erzeugte K-Vektorräume sind frei Austauschlemma von Grassmann-Steinitz