Algèbre bilinéaire et géométrie euclidienne

Description

1 Dual d’un espace vectoriel 1 1.1. Rappels et notations .............................. 1 1.2. Espace dual ................................... 2 1.3. Hyperplan .................................... 4 1.4. Base duale .................................... 5 1.5. Transposition .................................. 8 2 Alg`ebre bilin´eaire 10 2.1. Formes bilin´eaires ................................ 10 2.2. Formes quadratiques .............................. 13 2.3. Orthogonalit´e .................................. 16 2.4. Formes non d´eg´en´er´ees ............................. 18 2.5. Bases orthogonales ............................... 20 2.6. R´eduction des formes quadratiques ...................... 25 3 Espace Euclidien 28 3.1. Produit scalaire ................................. 28 3.2. Orthogonalit´e dans les espaces pr´ehilbertiens r´eels .............. 32 3.3. Adjoint d’un endomorphisme ......................... 36 3.4. Endomorphisme sym´etrique .......................... 38 3.5. Endomorphisme orthogonal .......................... 40 3.6. Forme r´eduite d’un endomorphisme orthogonal ................ 43 4 Applications 48 4.1. Endomorphismes sym´etriques et formes quadratiques ............ 48 4.2. Polynˆomes orthogonaux ............................ 50 4.3. Coniques et quadriques ............................. 51 Index 55