Differentialgleichungen - Symmetrien und Lösungsmethoden

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Was macht man, wenn man eine gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung y" = (x-y)*y'³ mit y' = dy/dy oder (1.1) y"=x^n**y² (n0) (1.2) lösen will? Wie müßte man vorgehen? Zuerst würde man sicherlich überprüfen, ob die Differentialgleichung zu einer bekannten einfachen Klasse gehört, etwa zu den linearen Differentialgleichungen, oder ob sie durch eine Variablentransformation auf eine solche Form gebracht werden kann. Ist beides nicht der Fall, würde man Lehrbücher oder Lösungssammlungen zu Rate ziehen. Findet man auch hier nichts, braucht aber die Lösung unbedingt, würde man es mit komplizierten Transformationen und Lösungsansätzen versuchen. Scheitert auch das, wird man die Differentialgleichung beiseite legen müssen, aber mit dem unguten Gefühl, daß es vielleicht doch noch irgendeine Methode geben könnte, von der man nichts weiß, und daß eine Lösung in Gestalt elementarer, einfacher Funktionen oder Integrale vielleicht doch möglich ist. (Für die beiden Differen- tialgleichungen (1.1) und (1.2) werden wir diese Fragen in den Abschnitten 5.2 und 7.5 beantworten.) Bei einer partiellen Differentialgleichung wie U,[xx]*U,[yy] - u,[xy] - 1 = 0 (1.3) ist die Lage ähnlich, wenn auch die spezifischen Fragestellungen anders sind. Da einfache schlagkräftige Verfahren zur Behandlung partieller Differentialgleichungen zweiter Ordnung eigentlich nur für lineare Differentialgleichungen vorhanden sind, wird man zunächst versuchen, die vorgelegte Differentialgleichung in eine lineare zu transformieren (für das Beispiel (1.3) ist dies möglich, siehe Aufgabe 21.4.6). Geht das nicht, würde man versuchen, durch Standardverfahren wie Separation der Veränderlichen (indem man u als Summe oder Produkt von Funktionen verschiedener Veränderlicher schreibt) oder Reduktion der Variablenzahl (durch die Voraussetzung, daß u von weniger als der Maximalzahl von Veränderlichen abhängt) zumindest möglichst viele spezielle Lösungen zu konstruieren. Aber wieder bleibt die Frage offen, ob diese Verfahren zum Erfolg führen oder ob es noch andere geeignete Methoden gibt. In beiden Fällen, sowohl für die gewöhnlichen als auch für die partiellen Differentialgleichungen, gibt es eine unmißverständliche Antwort auf alle diese Fragen: In der Mehrzahl aller Fälle, in denen eine Differentialgleichung gelöst werden kann, ist die Ursache dafür eine Symmetrie dieser Differentialgleichung, und den meisten Lösungsmethoden liegt eine Symmetrie zugrunde. Es gilt aber auch die Umkehrung: kennt man die Symmetrien einer Differentialgleichung, so lassen sich darauf Lösungsverfahren aufbauen. Dieses Buch ist der Untersuchung der Symmetrien von Differentialgleichungen gewidmet, mit der Betonung der Nutzung dieser Symmetrien für die Lösungsgewinnung. Das typische Vorgehen zur Definition und dann natürlich zur Bestimmung der Symmetrien besteht darin, zunächst die Klasse der zugelassenen Transformationen zu definieren und dann nach speziellen Transformationen dieser Klasse zu fragen, die eine vorgelegte Differentialgleichung invariant lassen. Je mehr zugelassene Transformationen es gibt, um so mehr Symmetrien sind zu erwarten - und um so schwieriger wird es sein, diese zu finden und zu verwerten. Der Inhalt des Buches wurde deshalb nach dem Schwierigkeitsgrad der zugelassenen Transformationen geordnet, beginnend mit Lie-Punkt-Transformationen und -Symmetrien und endend mit verallgemeinerten (dynamischen und Lie-Bäcklund-) Symmetrien.