Introduction à la Géostatistique : Variographie, krigeage, interpolation et simulation

Description

La Géostatistique est une discipline relativement récente, née des besoins de la prospection minière dans les années 50. Elle s'intéresse aux variables régionalisées : des variables définies sur un espace géographique donné, qui y présentent une certaine forme d'organisation ou de structure, mais dont la complexité interdit cependant toute description purement analytique (e.g. le relief du terrain, un champ de température, une carte de déformation, le couvert forestier, ...). Grâce à l'analyse statistique de l'autocorrélation, la Géostatistique permet d'estimer des quantités inconnues à partir d'un ensemble réduit d'observations. Dans ce cours, après un bref rappel de statistiques classiques, nous verrons dans un premier temps comment caractériser une variable régionalisée dans un cadre probabiliste, à l'aide des notions de processus stochastique et de variogramme. Ces nouveaux outils seront alors employés pour construire par interpolation à l'aide de la méthode du krigeage, un modèle numérique de terrain à partir d'un semis de relevés altimétriques. Enfin, nous ferons une excursion dans le domaine des simulations (conditionnelles et non-conditionnelles), qui constituent un outil puissant pour contourner les limites de la Géostatistique linéaire. Ce document de cours comporte 12 activités pédagogiques, à réaliser à l'aide du langage de programmation R : Activités I et II : comprendre et manipuler la notion de processus stochastique Activités III à V : caractériser un processus stochastique à l'aide du variogramme Activité VI : une première approche de l'interpolation dans un cadre probabiliste Activités VII et VIII : programmer une interpolation du relief par krigeage Activité IX : évaluer les performances d'un modèle d'interpolation à l'aide de la validation croisée Activités X et XI : quelques compléments Activité XII : TP de synthèse du cours - évaluation du risque de crue Rappels statistiques Espace probabilisé Variable aléatoire réelle Fonction de répartition Densité de probabilité Espérance Variance Covariance Moments statistiques Exemple de synthèse Analyse variographique Processus stochastique Une première approche informelle Les hypothèses fondamentales La Stationnarité L'ergodicité Les hypothèses en pratique Le variogramme Variogramme expérimental Interpréter le variogramme Les modèles de variogramme L'estimation du variogramme Pour aller plus loin Bilan Interpolation par Krigeage Introduction Les contraintes du krigeage Contrainte de linéarite Contrainte d'autorisation Contrainte d'universalité Contrainte d'optimalité Formulation du problème Le krigeage Le krigeage ordinaire Le krigeage intrinsèque Mise en oeuvre du krigeage Propriété du krigeage Exactitude Multiplication du variogramme Linéarité Lissage Formulation duale Les variantes du krigeage Krigeage simple Krigeage de la moyenne Krigeage par blocs Krigeage universel Krigeage avec dérive externe Autres variantes Bilan Compléments La validation croisée Application à l'optimisation bayésienne Introduction Principe Pour aller plus loin... Simulations Simulation non-conditionnelle Simulation conditionnelle Bilan Régularité d'un processus stochastique Définitions Liens avec le variogramme Régularisée d'un variogramme Contre-exemples pratiques Deux variables aléatoires décorrélées mais pas indépendantes Une variable aléatoire qui ne possède pas d'espérance Une variable aléatoire qui ne possède pas de variance Un processus stationnaire mais non-ergodique Un processus ergodique à l'ordre 1 mais pas à l'ordre 2 Un processus strictement intrinsèque Un processus continu en m.q. dont toutes les réalisations sont discontinues