Элементарная математика для школьников, студентов и преподавателей

Description

Книга состоит из десяти глав, названия большинства из которых вполне традиционны для книг, предназначенных для факультативных занятий по математике. В книге приведены более трехсот задач, б´ольшая часть которых предлагается читателю для самостоятельного решения. Однако в каждой из глав рассматриваются не только элементарные задачи, но и связанная с ними теория. Для старшеклассников школ с углубленным изучением математики и их учителей, студентов математических факультетов университетов и их преподавателей, а также всех, кто интересуется математикой и ее преподаванием. Предисловие (А.С. Меркурьев) Введение Глава 1. Индукция §1.1. Рассуждения «по индукции» §1.2. Метод математической индукции §1.3. Принцип математической индукции §1.4. Аксиоматика Пеано §1.5. Сложение, порядок и умножение §1.6. Число элементов множества Дополнительные задачи Комментарии педагогического характера Решения упражнений Глава 2. Комбинаторика §2.1. Элементарные задачи §2.2. Числа сочетаний и рекуррентные соотношения §2.3. Задача о перечислении графов §2.4. Перестановки, размещения, сочетания §2.5. Метод производящих функций §2.6. Рекуррентные соотношения и свойства степенных рядов §2.7. Теорема Эйлера §2.8. Числа Каталана §2.9. Число ячеек n-мерного пространства Дополнительные задачи Комментарии педагогического характера Решения упражнений Глава 3. Целые числа §3.1. Элементарные задачи на делимость §3.2. Алгоритм Евклида §3.3. Сравнения по модулю и кольца вычетов §3.4. Теоремы Ферма и Эйлера §3.5. Распределение простых чисел §3.6. Арифметические функции §3.7. Алгебраические уравнения над кольцами вычетов §3.8. Шифры с открытым ключом §3.9. Множество целых чисел §3.10. Кольца, поля, группы Дополнительные задачи Комментарии педагогического характера Решения упражнений Глава 4. Геометрические преобразования §4.1. Параллельный перенос, поворот и симметрии в задачах §4.2. Композиции в задачах §4.3. Группа движений плоскости §4.4. Алгебраические свойства геометрических фигур §4.5. Координатные представления геометрических преобразований §4.6. Орнаменты Дополнительные задачи Комментарии педагогического характера Решения упражнений Глава 5. Неравенства §5.1. Средние двух чисел §5.2. Неравенства и тождественные преобразования §5.3. Неравенство Коши—Буняковского §5.4. Неравенство Коши §5.5. Теорема Мюрхеда §5.6. Различные доказательства неравенства Коши §5.7. Неравенство Йенсена §5.8. Классические неравенства и геометрия §5.9. Нормы и шары в R n §5.10. Интегральные варианты классических неравенств Дополнительные задачи Комментарии педагогического характера Решения упражнений Глава 6. Графы §6.1. Начало теории графов §6.2. Понятия и определения §6.3. Паросочетания §6.4. Деревья §6.5. Формула Эйлера и эйлерова характеристика §6.6. Формула Пика §6.7. Теорема Жордана §6.8. Графы для самых маленьких §6.9. Двоичные кучи Дополнительные задачи Комментарии педагогического характера Решения упражнений Глава 7. Принцип Дирихле §7.1. Клетки и кролики §7.2. Комбинаторные теоремы существования §7.3. Плотные подмножества в R §7.4. Лемма Минковского §7.5. Суммы двух и четырех квадратов Дополнительные задачи Решения упражнений Глава 8. Комплексные числа и многочлены §8.1. Многочлены §8.2. Определение поля комплексных чисел §8.3. Комплексные числа в задачах §8.4. Комплексные числа и геометрия §8.5. Доказательство Конна теоремы Морли §8.6. Основная теорема высшей алгебры и «единственность» поля C §8.7. Формула Эйлера §8.8. Быстрое преобразование Фурье Дополнительные задачи Решения упражнений Глава 9. Рациональные приближения §9.1. Хорошие приближения числа √ 2 §9.2. Задача о саде и ряды Фарея §9.3. Цепные дроби §9.4. Квадратичные иррациональности §9.5. Поле Q и поля частных §9.6. Числа алгебраические и трансцендентные Дополнительные задачи Комментарии педагогического характера Решения упражнений Глава 10. Математика и компьютер §10.1. Введение в предмет §10.2. Визуализация математических фактов и методов §10.3. Анализ результата, или: «Как сделать открытие» §10.4. Хаос, хаос Дополнительные задачи Комментарии педагогического характера Решения упражнений Вместо заключения: обучение поиску решения задач, или фантазии в манере Пойа Решения дополнительных задач К главе 1 К главе 2 К главе 3 К главе 4 К главе 5 К главе 6 К главе 7 К главе 8 К главе 9 К главе 10 Список литературы Именной указатель Предметный указатель Содержание