Algèbre linéaire, algèbre bilinéaire: Cours et exercices corrigés

Description

Cet ouvrage présente l’algèbre linéaire et bilinéaire sous un aspect fondamental et pratique. Il est le fruit de plusieurs années d’enseignement d’algèbre générale, linéaire et bilinéaire. Il est essentiellement destiné aux étudiants en licence de mathématiques, aux élèves de la section MP des classes préparatoires et ceux qui préparent les concours de l’enseignement. Le cours est complet et rédigé d’une manière pédagogique, simple et détaillé, avec beaucoup d’exemples et d’exercices corrigés à l’intérieur de chaque chapitre, dont le but d’illustrer le contenu. Avant propos TABLE DES MATIÈRES 1. Espaces vectoriels 1.1 Définitions et propriétés de base 1.1.1 Espace vectoriel sur un corps quelconque 1.1.2 Conséquences de la définition 1.1.3 Exemples fondamentaux 1.2 Sous-espaces vectoriels 1.2.1 Définition et exemples 1.2.2 Opérations sur les sous-espaces vectoriels 1.2.3 Sous-espaces supplémentaires 1.3 Espace vectoriel quotient 1.4 Partie génératrice - Partie libre - Base 1.4.1 Combinaisons linéaires - Partie génératrice 1.4.2 Partie libre 1.4.3 Base 1.5 Espaces vectoriels de dimension finie 1.5.1 Définition et exemples 1.5.2 Théorème de la dimension finie 1.5.3 Théorème de la base incomplète 1.5.4 Identités remarquables concernant la dimension 1.6 Exercices Exercice 1-5 Exercice 6-10 Exercice 11-16 Exercice 17-20 Exercice 21-25 Exercice 26 1.7 Solutions des exercices Exercice 1-2 Exercice 3 Exercice 4-5 Exercice 6-8 Exercice 9-11 Exercice 12-13 Exercice 14-16 Exercice 17 Exercice 18 Exercice 19 Exercice 20-22 Exercice 23 Exercice 24 Exercice 25-26 2. Applications linéaires - Matrices 2.1 Applications linéaires - Isomorphisme d'epaces vectoriels 2.1.1 Définition et propriétés de base 2.1.2 Noyau et image d'une application linéaire 2.1.3 Décomposition canonique - Théorème du rang 2.2 Endomorphismes - Automorphismes 2.3 Exemples d'endomorphismes remarquables 2.3.1 Projection sur un sous-espace vectoriel - Projecteurs 2.3.2 Symétrie par rapport à un sous-espace vectoriel 2.3.3 Affinités - Dilatations - Transvections 2.4 Matrices 2.4.1 Opérations sur les matrices 2.4.2 Matrices élémentaires 2.4.3 Matrices de transvection - Matrices de dilatation - Génération de GL_n(𝕂) 2.4.4 Trace d'une matrice carrée 2.5 Matrices et applications linéaires 2.5.1 Matrice d'une application linéaire 2.5.2 Matrice de passage - Changement de base 2.6 Rang d'une application linéaire - Rang d'une matrice 2.6.1 Définition et propriétés de base 2.6.2 Rang et matrices équivalentes 2.7 Exercices 2.7.1 Noyau, image, isomorphisme, automorphisme, théorème du rang Exercice 27-30 Exercice 31 Exercice 32-36 Exercice 37-39 2.7.2 Rang - Théorème du rang Exercice 40-44 Exercice 45-49 2.7.3 Projecteurs Exercice 50-52 Exercice 53-57 Exercice 58-59 2.7.4 Matrices, applications linéaires de matrices Exercice 60-64 Exercice 65-66 Exercice 67 2.8 Solution des exercices Exercice 27-29 Exercice 30-31 Exercice 32-33 Exercice 34-35 Exercice 36-37 Exercice 38-39 Exercice 40 Exercice 41-42 Exercice 43 Exercice 44-45 Exercice 46-48 Exercice 49-50 Exercice 51-52 Exercice 53-57 Exercice 58 Exercice 59-60 Exercice 61-62 Exercice 63-64 Exercice 65-66 Exercice 67 3. Formes linéaires - Dualité 3.1 Formes linéaires et hyperplans 3.2 Espace vectoriel dual 3.3 Base duale 3.4 Base préduale 3.5 Prolongement des formes linéaires 3.6 Orthogonalité 3.7 Bidual 3.8 Transposée d'une application linéaire 3.9 Exercices Exercice 68-69 Exercice 70-72 Exercice 73-77 Exercice 78-81 3.10 Solution des exercices Exercice 68 Exercice 69 Exercice 70 Exercice 71 Exercice 72 Exercice 73-74 Exercice 75-76 Exercice 77-79 Exercice 80-81 4. Formes multilinéaires - Déterminants 4.1 Formes multilinéaires 4.1.1 Définitions et propriétés de base 4.1.2 Formes multilinéaires alternées 4.2 Déterminants 4.2.1 Déterminant d'un système de vecteurs 4.2.2 Déterminant d'un endomorphisme 4.2.3 Déterminant d'une matrice 4.2.4 Développement d'un déterminant 4.2.5 Inverse d'une matrice 4.2.6 Déterminant de Vandermonde 4.3 Exercices Exercice 82-84 Exercice 85-87(Déterminant de Vandermonde généralisé) Exercice 88-90 Exercice 91 4.4 Solutions des exercices Exercice 82-83 Exercice 84-85 Exercice 86-87 Exercice 88 Exercice 89 Exercice 90 Exercice 91 5. Réduction des endomorphismes 5.1 Polynômes et endomorphismes 5.1.1 Notations et définitions 5.1.2 Polynôme minimal 5.1.3 Polynôme caractéristique 5.1.4 Théorème de Cayley-Hamilton 5.1.5 Théorème de décomposition des noyaux 5.2 Diagonalisation 5.2.1 Valeurs propres - Vecteurs propres 5.2.2 Sous-espaces propres 5.2.3 Endomorphismes diagonalisables 5.2.4 Diagonalisation simultannée 5.3 Trigonalisation 5.4 Endomorphismes nilpotents 5.5 Jordanisation d'un endomorphisme nilpotent 5.6 Décomposition de Dunford 5.7 Réduction de Jordan 5.7.1 Base et matrice de Jordan 5.7.2 Technique de jordanisation en petites dimensions 6. Applications de la réduction 6.1 Calcul de l'exponentielle d'une matrice 6.1.1 Norme d'une matrice 6.1.2 Exponentielle d'une matrice 6.2 Systèmes et équations différentiels linéaires 6.2.1 Définition d'un système différentiel 6.2.2 Résolution pratique d'un système différentiel 6.2.3 Solutions réelles 6.3 Equations différentielles linéaires à coefficients constants 6.3.1 Equation homogène 6.4 Exercices Exercice 92-94 Exercice 95-98 Exercice 99-100 Exercice 101-103 Exercice 104-105 Exercice 106-108 Exercice 109-112 Exercice 113-114 Exercice 115-118 Exercice 119-120 Exercice 121-124 Exercice 125-126 Exercice 127-130 Exercice 131-132 6.5 Solutions des exercices Exercice 92-93 Exercice 94-95 Exercice 96-97 Exercice 98 Exercice 99 Exercice 100-101 Exercice 102 Exercice 103 Exercice 104-105 Exercice 106 Exercice 107 Exercice 108-109 Exercice 110 Exercice 111-112 Exercice 113 Exercice 114 Exercice 115 Exercice 116-117 Exercice 118-119 Exercice 120-121 Exercice 122-123 Exercice 124 Exercice 125 Exercice 126 Exercice 127 Exercice 128 Exercice 129-130 Exercice 131 Exercice 132 7. Formes bilinéaires symétriques - Formes quadratiques 7.1 Formes bilinéaires symétriques 7.1.1 Définition et propriétés élémentaires 7.1.2 Matrice d'une forme bilinéaire 7.1.3 Ecriture matricielle 7.1.4 Changement de base 7.1.5 Rang d'une forme bilinéaire 7.1.6 Formes bilinéaires symétriques non dégénérées 7.1.7 Orthogonalité 7.1.8 Isotropie 7.1.9 Bases orthogonales 7.2 Formes quadratiques 7.2.1 Définition et propriétés élémentaires 7.2.2 Méthode de Gauss de réduction d'une forme quadratique 7.3 Signature d'une forme bilinéaire symétrique 7.3.1 bases orthonormales 7.3.2 Théorème d'inertie de Sylvester 7.4 Exercices Exercice 133-136 Exercice 137-138 Exercice 139-140 Exercice 141-145 Exercice 146-147 7.5 Solution des exercices Exercice 133-134 Exercice 135-136 Exercice 137 Exercice 138 Exercice 139 Exercice 140 Exercice 141 Exercice 142-143 Exercice 144 Exercice 145 Exercice 146-147 8. Espaces eucldiens 8.1 Produit scalaire 8.1.1 Définition et propriétés élémentaires 8.1.2 Notations et règles de calcul 8.1.3 Utilisation des bases orthonormales 8.2 Inégalité de cauchy-Schwarz 8.3 Procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt 8.4 Changement de bases orthonormales - Orientation 8.5 Produit vectoriel 8.5.1 Formes linéaires d'un espace euclidien 8.5.2 Définition et propriétés du produit vectoriel 8.6 Exercices Exercice 148 Exercice 149-155 Exercice 156-159(Inégalité de Cauchy-Schwarz) Exercice 160 Exercice 161-165 Exercice 166(Formule du double produit vectoriel)-168(Théorème de Fréchet-Jordan-von Neumann) 8.7 Solution des exercices Exercice 148-150 Exercice 151-153 Exercice 154-155 Exercice 156 Exercice 157 Exercice 158-159 Exercice 160-161 Exercice 162 Exercice 163-164 Exercice 165 Exercice 166 Exercice 167 9. Endomorphismes d'un espace euclidiens 9.1 Endomorphisme adjoint 9.2 Projection orthogonale 9.2.1 Projection suivant une direction 9.2.2 Définition et propriétés d'une projection orthogonale 9.2.3 Distance d'un point à un sous-espace vectoriel 9.3 Symétrie orthogonale 9.3.1 Symétrie suivant une direction 9.3.2 Propriétés des symétries orthogonales 9.4 Endomorphismes symétriques 9.4.1 Définition et propriétés des endomorphismes symétriques 9.4.2 Formes bilinéaires symétriques d'un espace euclidien 9.5 Endomorphismes orthogonaux 9.5.1 Définition et propriétés de base 9.5.2 Cas d'un espace euclidien de dimension 2 9.5.3 Cas d'un espace euclidien de dimension 3 9.5.4 Cas général 9.6 Décomposition polaire 9.7 Décomposition QR 9.8 Exercices Exercice 169-171 Exercice 172-177 Exercice 178-182 Exercice 183-184 Exercice 185-188 Exercice 189-192 Exercice 193-197 Exercice 198-203 Exercice 204(Théorème de Courant-Fisher)-205(Matrice et déterminant de Gram) Exercice 206-207(Inégalité de Hadamard) Exercice 208-209 Exercice 210-213 Exercice 214-216 Exercice 217-222 Exercice 223-224 Exercice 225-226(Endomorphismes normaux d'un espace euclidien) Exercice 227 Exercice 228-230 Exercice 231 9.9 Solution des exercices Exercice 169-170 Exercice 171-172 Exercice 173 Exercice 174-176 Exercice 177-178 Exercice 179 Exercice 180 Exercice 181-182 Exercice 183 Exercice 184 Exercice 185 Exercice 186 Exercice 187-188 Exercice 189 Exercice 190 Exercice 191-192 Exercice 193-194 Exercice 195-196 Exercice 197 Exercice 198-199 Exercice 200-201 Exercice 202-203 Exercice 204 Exercice 205 Exercice 206-207 Exercice 208 Exercice 209 Exercice 210-211 Exercice 212 Exercice 213 Exercice 214 Exercice 215-217 Exercice 218-219 Exercice 220-221 Exercice 222 Exercice 223-224 Exercice 225 Exercice 226 Exercice 227-228 Exercice 229-230 Exercice 231 10. Formes sesquilinéaires - Formes quadratiques hermitiennes 10.1 Formes sesquilinéaires - Formes hermitiennes 10.1.1 Quelques rappels sur les nombres complexes 10.1.2 Définition et propriétés de base 10.1.3 Matrice d'une forme sesquilinéaire 10.1.4 Ecriture matricielle 10.1.5 Changement de base 10.1.6 Rang d'une forme sesquilinéaire 10.1.7 Forines hermitienne non dégénérée 10.1.8 Orthogonalité 10.1.9 Bases orthogonales 10.2 Formes quadratiques hermitiennes 10.2.1 Définition et propriétés élémentaires 10.2.2 Méthode de Gauss pour la réduction d'une forme quadratique hermitienne Cas de la dimension 2 Cas de la dimension 3 Le cas général 10.3 Exercices Exercice 232-233 Exercice 234 10.4 Solution des exercices Exercice 232 Exercice 233 Exercice 234 11. Espaces hermitiens 11.1 Produit hermitien 11.1.1 Définition et exemples 11.1.2 Notations et règles de calcul 11.1.3 Utilisation des bases orthonormales 11.2 Inégalité de Cauchy-Schwartz 11.3 Endomorphismes d'un espace hermitien 11.3.1 Endomorphisme adjoint 11.3.2 Endomorphismes normaux 11.3.3 Endomorphismes hermitiens 11.3.4 Endomorphismes unitaires 11.4 Exercices Exercice 235-237 Exercice 238-242 11.5 Solution des exercices Exercice 235 Exercice 236-237 Exercice 238-240 Exercice 241-242 Bibliographie Index