連接層の導来圏と代数幾何学

Description

「アーベル圏の導来圏」はアーベル圏の対象の複体からなる三角圏であり、1960年代にグロタンディックとヴェルディエにより導入された概念である。以来、導来圏は活発に研究されており、現在では代数幾何はもとより数論幾何学・代数解析・表現論・数理物理などで有用な道具、言語として活躍し大きな発展に寄与している。 本書は代数多様体上の連接層の導来圏に関し、特に重要な発展と思われるトピックを選び、最新の諸研究結果までを概説した。できる限りself-containedに、また本質を見失わない程度に簡単な設定にした上で、各トピックについて核となるアイディアが現れるよう展開されている。 序文 目次 第1章 本書の構成と記号 1.1 本書の構成 1.2 記号 第2章 導来圏の定義と性質 2.1 なぜ導来圏を考えるのか？ 2.2 Abel圏の複体のホモトピー圏 2.3 三角圏 2.4 コホモロジー的関手 2.5 三角圏の局所化 2.6 Abel 圏の導来圏 2.7 導来関手 2.8 代数多様体上の連接層の導来圏 2.9 導来関手の性質 2.10 Fourier-Mukai 変換 第3章 三角関手の同値性の判定条件 3.1 随伴関手と Serre 関手 3.2 三角圏の生成元 3.3 三角関手の充満忠実性，同値性の判定条件 第4章 導来圏の半直交分解と例外生成列 4.1 代数多様体の導来圏の不変量 4.2 半直交分解 4.3 例外生成列 4.4 例外生成列を持つ代数多様体 4.5 傾斜対象 4.6 半直交分解および例外列の変異 4.7 お化けが出た！ 第5章 安定層のモジュライ空間と Fourier-Mukai 変換 5.1 代数曲線上の（半）安定ベクトル束 5.2 高次元代数多様体上の（半）安定層 5.3 （半）安定層のモジュライ空間 5.4 （半）安定層のモジュライ空間の構成 5.5 安定層の局所変形理論 5.6 普遍層による導来同値 5.7 K3曲面上の安定層のモジュライ空間 5.8 相対的安定層のモジュライ空間 5.9 Pfaffian-Grassmannian 導来同値 5.10 捻れ層と Fourier-Mukai 変換 第6章 導来 McKay 対応 6.1 クレパント解消(CCR) とフロップ 6.2 G-Hilb(M) 6.3 交叉定理 6.4 導来 McKay 対応 第7章 フロップによる導来同値 7.1 t-構造と捩れ対 7.2 一般的なひねくれ者 7.3 ひねくれた同僚 7.4 ひねくれた妻 7.5 Van den Bergh によるフロップの導来同値 7.6 非可換クレパント解消 (NCCR) 7.8 NCCR vs. CCR 7.9 フロップ-フロップ関手 7.10 非可換変形とフロップ 第8章 連接層の導来圏と 行列因子化 8.1 完全圏の導来圏 8.2 Serre 商と Verdier 商 8.3 次数付き加群の商圏 8.4 Gorenstein 多様体の導来圏 8.5 行列因子化の圏と極大 Cohen-Macaulay 加群の安定圏 8.6 gauged LG 模型の因子化の圏 8.7 行列因子化の圏と特異点の三角圏 8.8 行列因子化の圏と Calabi-Yau 超曲面の導来圏 第9章 ホモロジー的射影双対理論 9.1 Lefschetz 分解 9.2 普遍超平面 9.3 ホモロジー的射影双対 9.4 2次超曲面の HPD 9.5 圏論的特異点解消 9.6 Grassmann 多様体の HPD 9.7 4次元3次超曲面の導来圏 9.8 長方形型 Lefschetz 分解に関するHPDの証明 第10章 連接層の導来圏と 幾何学的不変式論 10.1 幾何学的不変式論 10.2 導来圏と GIT (アファイン空間の場合) 10.3 導来圏と GIT (一般の場合) 10.4 トーリック Deligne-Mumford スタック 10.5 トーリック Deligne-Mumford スタックと例外生成列 10.6 特異点の三角圏と GIT 第11章 Bridgeland 安定性条件 11.1 Abel圏の安定性条件 11.2 三角圏の安定性条件 11.3 安定性条件の空間 11.4 楕円曲線上の安定性条件の空間 11.5 ミラー対称性との関係 11.6 極大体積極限の近傍 11.7 連接層のなす Abel圏の傾斜 11.8 代数曲面上の安定性条件 11.9 代数曲面の極大体積極限 11.10 壁と部屋の構造 11.11 K3曲面上の安定性条件の空間 11.12 3次元代数多様体上の安定性条件 11.13 Bogomolov-Gieseker 型不等式予想 第12章 Donaldson-Thomas 不変量 12.1 3次元 Calabi-Yau 多様体上の安定層のモジュライ空間 12.2 完全障害理論 12.3 仮想サイクル 12.4 Behrend 関数 12.5 曲線を数え上げるDT不変量 12.6 君のママは僕のママ (GW/DT対応) 12.7 安定対不変量 12.8 君のママもか！ (DT/PT対応) 12.9 Artin スタックの Grothendieck 群 12.10 モチーフ的 Hall 代数 12.11 道代数のモチーフ的 Hall 代数 12.12 Poisson 代数 12.13 イプシロン関数 12.14 一般化DT不変量 12.15 Poisson トーラス 12.16 一般化DT不変量の壁越え 12.17 君のママが僕のママであるために 付録A. Grothendieck双対性 A.1 双対化複体 A.2 Cohen-Macaulay 加群と Gorenstein 環 A.3 標準層 付録B. 代数上の加群 B.1 有限次元代数 B.2 箙 B.3 箙上の道代数 B.4 箙上の表現 付録C. 代数群の代数多様体への作用 C.1 代数群の座標環への作用 C.2 G-同変層 C.3 代数群のベクトル束への作用 付録D. 商スタック D.1 スタック D.2 2-圏の補足 D.3 スタックとしてのスキーム D.4 Artin スタック，Deligne-Mumford スタック D.5 商スタック 参考文献 A B C D, E, F G, H I, J K L M N, O P, R, S T U, V Y, 戸, 川, 中 索引 数字・欧文 あ・か さ た・な・は・ま・や ら