Matemática Básica - Volume 3

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Folhas de crédito_Matemática Básica 3 Digital_Matemática Básica_Volume 3 Capa_Matemática Básica_Volume 3 Folhas de crédito_Matemática Básica 3 Digital_Matemática Básica_Volume 3 Matemática básica - vol. 3 - CAPITULOS_final HISTÓRICO O conjunto dos números complexos 2.1 A unidade imaginária 2.2 Potências de 𝐢 2.2.1 Exercícios 2.3 Forma algébrica de um número complexo 2.4 Igualdade, adição e multiplicação de números complexos 2.4.1 Igualdade 2.4.2 Adição 2.4.3 O simétrico (ou oposto) 2.4.4 Subtração 2.4.5 Multiplicação 2.4.6 Exercícios 2.4.7 Divisão 2.4.8 Existência do inverso multiplicativo 2.5 Conjugado de um número complexo Representação geométrica dos números complexos 3.1 Módulo de um número complexo 3.2 Forma trigonométrica de um número complexo 3.3 Multiplicação e divisão na forma trigonométrica 3.3.1 Multiplicação 3.3.2 Divisão 3.4 Potenciação e radiciação na forma trigonométrica 3.4.1 A potenciação (fórmula de Moivre) 3.4.2 A radiciação Observações: 1) Se 𝑧=1, as raízes n-ésimas de z são chamadas raízes n-ésimas da unidade. 2) As raízes n-ésimas da unidade são: ,𝑤-𝑘.= ,cos-,2kπ-n. .+ 𝑖 ,,sen-,2kπ-n..- . (k = 0, 1, 2, ..., n − 1) . Usando a fórmula de Moivre, vemos que as n raízes n-ésimas da unidade podem ser escritas assim 1, 𝑤, ,𝑤-2.,,𝑤-3., …, ,𝑤-𝑛−1. em que 𝑤= ,cos-,2𝜋-𝑛..+ 𝑖 ,sen-,2𝜋-𝑛.. . 3.5 Representação vetorial de um número complexo 3.5.1 Interpretação para a soma 3.5.2 Interpretação para o oposto 3.5.3 Interpretação para a diferença 3.5.4 Interpretação para o conjugado 3.5.5 Interpretação para o produto 3.6 Números complexos e a função de Euler FUNÇÃO COMPLEXA DE UMA VARIÁVEL COMPLEXA Seja D um subconjunto de . Uma função complexa definida em D é uma correspondência que associa a cada número complexo a um único número complexo . O complexo w é chamado de valor de f em z e denotado por . 4.1 Exemplos de funções complexas 1) Seja e definido por . Logo . Se e com , então podemos escrever . Assim . Portanto e são funções reais de duas variáveis reais x e y (observe que sendo temos ). 2) A função complexa definida por é também chamada de função real de variável complexa, pois , . Note que . Assim vemos que o conjunto das imagens de f está contido em 3) Seja definida por . Se , então . Nesse caso Re e . Para todo , existem , tais que . Os complexos e são as raízes quadradas complexas de w. Como a raiz quadrada complexa do zero é ele próprio, concluímos que f é sobrejetora, mas não é injetora. 4) Motivados pela definição da Função de Euler (seção 3.6), dada por sen y escrita na forma exponencial sen y , definimos a função exponencial complexa Exp por Exp . Se , logo Exp em que E é a Função de Euler. Portanto Exp sen y) sen y . Assim, sendo temos Exp . Observações acerca da exponencial complexa a) Re(z) b) , z , pois se , então . Como , , temos , mas e nunca se anulam simultaneamente para um mesmo valor . Portanto c) De fato: Sejam e d) n , , pois usando a fórmula de Moivre temos e) A exponencial complexa não é injetora. Por exemplo e . Logo Portanto z . Isto mostra que a função exponencial complexa é periódica. f) , pois sendo temos e 4.2 Função Complexa vista como transformação de em Seja uma função complexa. O seu gráfico é um subconjunto do produto cartesiano x . Sendo identificado geometricamente como , então é identificado com x , que é um espaço quadridimensional. Portanto não conseguimos mais esboçar e visualizar geometricamente o por ser uma figura num contexto de dimensão 4. No entanto, uma mane... / Se , então . Assim Re e são funções reais de duas variáveis reais. Exemplos 1) Seja definida por Seja o círculo , então temos com com . Assim vemos que é o círculo com centro na origem e raio 1, mas agora percorrido duas vezes, isto é, é o círculo com duas voltas. Seja uma reta perpendicular de equação (a é uma constante real), então e a é uma constante real}. e , é uma parábola. / Seja a reta horizontal (b constante real), então e b constante real} e é a parábola esboçada a seguir / 2) Seja dada por Seja o semiplano complexo . A função f transforma em com . Como , então é uma rotação de 45º no sentido anti-horário dos vetores , com módulo multiplicado por . Geometricamente, é uma rotação de 45º no sentido anti-horário de . / Considerando as interpretações geométricas do produto e da soma de números complexos, estudadas na seção 3.5, vemos que a transformação dada pela função complexa da forma , com e constantes complexas, pode ser obtida geometricamente por uma rotaç... 3) Seja dada por . e . Seja o quadrado e . / 4) Seja dada por , então a) As retas (a const. real) verticais ao eixo real do plano complexo são transformadas em círculos com centro na origem e raio . b) As retas (b constante real) verticais ao eixo imaginário do plano complexo são transformadas em semirretas do plano complexo. De fato: a) é uma reta vertical ao eixo real. Se , então . Logo, fazendo variar y em , temos que é um círculo com centro na origem e raio com infinitas voltas, pois f é periódica e portanto e . / Observe que, se percorre a reta no sentido positivo , então percorre o círculo no sentido positivo (anti-horário). E, se z percorre a reta no sentido negativo , então percorre o círculo no sentido negativo (horário). b) é uma reta vertical ao eixo imaginário. Se , então . Logo tem módulo variável e argumento fixo constante . Assim, variando x em , constitui uma semirreta. / (a semirreta não contém a origem O) Observação: Como vimos, no item a) do exemplo 4, a função exponencial complexa transforma o eixo y (reta vertical x = 0), que é uma cópia da reta real, no círculo de raio 1 e centro na origem. Isto é, a , quando restrita à reta real, coincide co... / 4.3 Exercícios complementares Polinômios Zero ou raiz de um polinômio Proposição Um polinômio é nulo (identicamente nulo) se e somente se Demonstração: Se , então , portanto é identicamente nulo, isto é, Reciprocamente, se , temos que Igualdade de polinômios Proposição Os polinômios e são iguais ou idênticos se e somente se e Demonstração: Se e , então para cada temos , isto é, para cada . Portanto Exemplos: 1) Determine e c para que o polinômio seja igual (idêntico) ao polinômio 6.1 Exercícios 1) Seja dada por uma função quadrática. Seja a forma fatorada da função (ver seção 7.4 do volume 1 ). Use a igualdade de polinômios para mostrar que e . 2) Determine os valores de e de modo que os polinômios e satisfaçam a condição . 3) Determine e tais que Grau de um polinômio Exercício: Operações com polinômios 8.1 Adição Exemplo: A diferença Denotamos o polinômio soma e o polinômio diferença por e 8.2 Multiplicação 8.3 Divisão Sabemos que e máx . Portanto obtemos . O que é uma contradição. Logo não podemos ter ou 8.3.1 Divisão pelo método de Descartes Exemplos: Assim Exercício: Logo 8.3.2 Divisão por Usando a proposição do Capítulo 6, que trata da igualdade entre dois polinômios, temos e assim por diante. Exemplo: Logo o polinômio quociente é . Portanto . Assim . Portanto Teorema de D'Alembert Jean le Rond d'Alembert (RPM, 1982, 2015) 9.1 Consequência do teorema de D'Alembert Exemplos: Efetuando a divisão, encontraremos o quociente . Usando o dispositivo de Briot-Ruffini, temos: 9.1.1 Exercícios 9.2 Divisão por 𝑩,𝒛.=𝒂𝒛+𝜷 O resto da divisão de um polinômio por é igual a . Exemplo: Exercícios: 9.3 Divisão por 𝑩,𝒛.=(𝒛−𝜶)(𝒛−𝜷) Demonstração: Se é divisível por , temos que o resto da divisão é nulo, logo 9.3.1 Exercícios Histórico O teorema fundamental da álgebra Toda equação algébrica de grau possui pelo menos uma raiz complexa. Teorema da decomposição Demonstração: sendo uma equação algébrica de grau , pelo teorema fundamental da álgebra (T. F. A) concluímos que ela possui uma raiz complexa, que denominamos . Sendo uma raiz desse polinômio, temos e, pelo teorema de D'Alembert, concluímos qu... Exemplos: 1.2.1 Exercícios Multiplicidade de uma raiz Decompondo o polinômio em que e são as raízes. tem a soma dos coeficientes igual a zero, logo , e, portanto, é divisível por . Portanto 13.1 Exercícios Relações entre coeficientes e raízes (relações de Girard) Equação do 1 grau Equação do 2 grau Equação do 3 grau Equação de grau n 14.1 Exercícios Teorema das raízes complexas Demonstração: Considere a equação algébrica com e . Assim, se , então, sendo raiz da equação, temos que . Corolário Se é raiz de multiplicidade m de uma equação algébrica com coeficientes reais, então o conjugado também é raiz de multiplicidade m. Demonstração: Seja a equação algébrica com coeficientes reais. Consequências: 15.1 Exercícios Teorema das raízes racionais Demonstração: Se é raiz da equação, logo e, multiplicando a igualdade por , temos: (*) Corolário Se é raiz da equação algébrica com coeficientes inteiros e , então é um divisor de . Exemplos: 16.1 Exercícios Teorema das raízes reais (teorema de Bolzano) Provando o teorema de Bolzano Exemplo 1: Exemplo 2: A equação possui raiz real positiva. Exemplo 3: Resolução algébrica de algumas equações 18.1 Equações na forma fatorada 18.2 Equações na forma ,𝒂𝒛-𝒏.+𝒃=𝟎 18.3 Equações transformadas Exemplo 1: Exemplo 2: 18.4 Equações do 3 grau (fórmula de Cardano) De fato, substituindo na equação primitiva, temos: 18.4.1 Alguns exemplos clássicos Portanto é uma solução real da equação 2) A equação histórica foi escrita por Raphael Bombelli no livro L´Álgebra de 1572. Facilmente se vê que 4 é uma raiz da equação , e, dividindo o polinômio por , escrevemos . Resolvendo a equação quadrática , obtemos as raízes e . Portanto as três raízes da equação são todas números reais, a saber , e . Agora usando a Fórmula de Cardano - Tartaglia - Del' Ferro na equação , obtemos as soluções . Logo, temos que a soma das raízes cúbicas complexas da fórmula fornece, nesse caso, as três soluções , e . Portanto concluímos que é sempre um número ... 3) Resolvendo a equação algébrica . Como a equação é do 3º grau com coeficientes reais, o teorema das raízes complexas garante que pelo menos uma das raízes é real. Sendo os coeficientes números inteiros, poderíamos usar o teorema das raízes racionai... No entanto precisaríamos testar na equação as possíveis raízes racionais que seriam formadas pelas razões entre os divisores de 136 pelos divisores de 27. Isto nos exigiria bastantes cálculos, porque o número de possibilidades de raízes a serem testad... Optemos então por fazer uma transformação na equação dada para eliminar o termo do 2º grau, obtendo assim uma outra equação mais simplificada, possibilitando também o uso da fórmula conhecida. A Lei da Transformação, nesse caso, é , o que equivale a e, substituindo na equação primitiva temos . Agora na equação podemos usar a fórmula de Cardano - Tartaglia - Del' Ferro ou usar o teorema das raízes racionais e com uma rápida inspeção verificamos que 2 é uma raiz. Assim possui as raízes 2, e . Voltando à Lei de Transformação , temos o conjunto solução da equação . Se aplicarmos a fórmula na equação , obtemos como raíz, . As três raízes do conjunto solução são obtidas de , considerando no cálculo as raízes cúbicas complexas indicadas acima. 4) Resolver a equação Neste caso a equação não tem raiz racional, logo sua raiz real é irracional. Usando a Fórmula de Cardano - Tartaglia - Del' Ferro, temos com e (*3F ) em que e . Logo . Na forma trigonométrica . Logo as raízes cúbicas de são , ou seja: . Portanto temos as raízes , e . Exercícios complementares respostas dos exercicios Matemática básica - vol. 3 - PROVAS 1. Terceiras provas de Matemática Básica I 2. Quartas provas de Matemática Básica I 3. Respostas das questões das terceiras provas 4. Respostas das Questões das Quartas Provas Quarta capa_Matemática Básica_Volume 3