Сборник задач по геометрии

Description

Учебное пособие включает в себя задачи по всем темам курса геометрии, может быть использовано при изучении теоретического материала по любому учебнику геометрии. Значительная часть задач связана с материалом, традиционно входящим в школьный курс геометрии. Пособие предназначено для студентов технических специальностей ссузов, может быть использовано учащимися и учителями классов с углубленным изучением математики общеобразовательных учреждений. Предисловие Глава I. Метод координат § 1. Координаты на плоскости 1.1. Декартовы и полярные координаты на плоскости 1.2. Аналитическое задание множеств на плоскости § 2. Координаты в пространстве 2.1. Декартовы координаты в пространстве 2.2. Аналитическое задание множеств в пространстве § 3. Векторы 3.1. Равенство векторов. Линейные операции над векторами. Координаты векторов 3.2. Скалярное произведение векторов 3.3. Векторное произведение векторов 3.4. Смешанное произведение векторов 3.5. Общий раздел 3.6. Применение векторов к решению геометрических задач § 4. Прямая на плоскости 4.1. Разные виды уравнений прямой 4.2. Взаимное расположение прямых на плоскости. Угол между прямыми 4.3. Расстояние от точки до прямой 4.4. Смешанный раздел § 5. Кривые второго порядка 5.1. Эллипс 5.2. Гипербола 5.3. Парабола 5.4. Смешанный раздел § 6. Плоскость 6.1. Разные виды уравнений плоскости 6.2. Взаимное расположение плоскостей. Пучок плоскостей. Расстояние от точки до плоскости § 7. Прямая в пространстве 7.1. Разные виды уравнений прямой 7.2. Взаимное расположение двух прямых в пространстве 7.3. Прямая и плоскость в пространстве 7.4. Смешанный раздел § 8. Поверхности второго порядка 8.1. Цилиндры и конусы 8.2. Поверхности, вращения 8.3. Эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды 8.4. Смешанный раздел Глава II. Повторение школьного курса геометрии § 9. Планиметрия 9.1. Углы и многоугольники 9.2. Окружности 9.3. Геометрические места (множества) точек плоскости § 10. Стереометрия 10.1. Точки, прямые и плоскости 10.2. Параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей 10.3. Углы в пространстве 10.4. Расстояния 10.5. Построения в пространстве Глава III. Преобразования § 11. Движения плоскости 11.1. Общие свойства движений плоскости 11.2. Осевая симметрия 11.3. Параллельный перенос 11.4. Поворот 11.5. Композиция движений 11.6. Элементы симметрии плоских фигур 11.7. Аналитическое задание движений 11.8. Применение движений к решению планиметрических задач на доказательство и вычисление § 12. Движения пространства 12.1. Общие свойства движений пространства 12.2. Зеркальная симметрия 12.3. Поворот вокруг прямой 12.4. Параллельный перенос 12.5. Композиция движений пространства 12.6. Элементы симметрии пространственных фигур 12.7. Применение движений пространства к решению стереометрических задач на доказательство § 13. Подобие 13.1. Гомотетия плоскости и пространства 13.2. Применение гомотетии к решению задач 13.3. Преобразование подобия § 14. Инверсия Глава IV. Задачи на построение с помощью циркуля и линейки § 15. Методы решения задач на построение 15.1. Метод геометрических мест точек (пересечения множеств) 15.2. Метод осевой симметрии 15.3. Метод поворота 15.4. Метод параллельного переноса 15.5. Метод подобия 15.6. Алгебраический метод 15.7. Метод инверсии § 16. Общий раздел Глава V. Изображение плоских и пространственных фигур § 17. Изображение фигур в параллельной проекции 17.1. Свойства параллельного проектирования 17.2. Изображение плоских фигур 17.3. Изображение пространственных фигур § 18. Решение задач на проекционном чертеже 18.1. Простейшие задачи 18.2. Построение сечений многогранников плоскостями, заданными тремя точками 18.3. Построение сечения многогранника плоскостью, параллельной некоторой прямой или некоторой плоскости 18.4. Метрические задачи 18.5. Смешанный раздел Глава VI. Площадь и объем § 19. Площадь многоугольной фигуры 19.1. Вычисление площади многоугольной фигуры 19.2. Применение понятия площади фигуры к решению планиметрических задач на доказательство § 20. Объем многогранной фигуры 20.1. Вычисление объемов многогранных тел 20.2. Применение понятия объема к решению стереометрических задач Глава VII. Геометрия Лобачевского § 21. Решение задач на плоскости Лобачевского 21.1. Взаимное расположение прямых 21.2. Многоугольники 21.3. Движения 21.4. Окружность, эквидистанта, орицикл § 22. Решение задач в модели Пуанкаре 22.1. Построения в модели Пуанкаре 22.2. Задачи на доказательство в модели Пуанкаре Глава VIII. Многомерная геометрия § 23. Евклидовы векторные пространства 23.1. Скалярное произведение Ортогональное дополнение подпространства 23.2. Линейные операторы 23.3. Билинейные и квадратичные формы § 24. Координаты в аффинном и евклидовом точечном пространствах Плоскости 24.1. Координаты 24.2. Плоскости в аффинном пространстве 24.3. Плоскости в евклидовом пространстве § 25. Фигуры в пространстве Еn 25.1. Гиперсферы 25.2. Выпуклые многогранники 25.3. Разные фигуры в пространстве Е4 § 26. Преобразования пространств Аn и Еn 26.1. Движения пространства Еn 26.2. Аффинные преобразования пространства Аn 26.3. Аффинные преобразования евклидовой плоскости 26.4. Применение аффинных преобразований к решению задач § 27. Квадрики 27.1. Квадрики в аффинном пространстве 27.2. Квадрики в евклидовом пространстве § 28. Псевдоевклидово пространство 28.1. Двумерное псевдоевклидово пространство 28.2. Трехмерное псевдоевклидово пространство Глава IX. Проективная геометрия § 29. Центральная проекция. Теорема Дезарга 29.1. Центральная проекция Расширенная евклидова плоскость 29.2. Теорема Дезарга § 30. Проективные координаты. Сложное отношение 30.1. Координаты. Уравнение прямой 30.2. Сложное отношение § 31. Проективные преобразования. Квадрики 31.1. Проективные преобразования 31.2. Квадрики 31.3. Модель Кэли–Клейна планиметрии Лобачевского Глава X. Элементы топологии § 32. Свойства топологических пространств 32.1. Открытые и замкнутые множества 32.2. Внутренние, внешние, граничные точки. Замыкание 32.3. Подпространство 32.4. Связность, отделимость компактность § 33. Отображения топологических пространств 33.1. Непрерывные отображения 33.2. Гомеоморфизмы § 34. Топологические свойства поверхностей 34.1. Многообразия 34.2. Эйлерова характеристика Глава XI. Дифференциальная геометрия § 35. Уравнения кривых 35.1. Векторные функции 35.2. Уравнения плоских кривых 35.3. Уравнения пространственных кривых § 36. Свойства кривых 36.1. Касательная и нормаль плоской кривой 36.2. Сопровождающий трехгранник 36.3. Длина дуги кривой. Кривизна. Кручение § 37. Уравнение поверхности. Касательная плоскость 37.1. Уравнение поверхности 37.2. Касательная плоскость и нормаль поверхности § 38. Свойства поверхности 38.1. Первая квадратичная форма 38.2. Вторая квадратичная форма. Нормальная кривизна 38.3. Гауссова и средняя кривизны 38.4. Геодезическая кривизна и геодезические линии Ответы Указания и решения Использованная литература