Справочное пособие по высшей математике: учеб. пособие

Description

Данное учебное пособие предназначено для сту-дентов НГТУ и включает основные теоремы, леммы и формулы по высшей математике. 143_Бутырин_1 1. Линейная алгебра 4.1. Понятие функции. Способы задания Обозначения: Область определения либо указывают, либо определяют. Основные способы задания функций 1) Аналитический способ задания функций. Пример: Частное значение функции: Примеры: а) б) 143_Бутырин_2 Неявное задание функции уравнением: Если уравнение можно разрешить относительно , то приходим к явно заданной функции, например: 2) Табличный способ задания функций: перечисление значений аргумента и соответствующих значений функции 3) Графический способ задания функций состоит в представлении функции графиком в некоторой системе координат. 4.2. Основные характеристики поведения функций. Начальный этап исследования функции 1) Нули функции находятся из решения уравнения . 2) – четная функция – нечетная функция 3) Периодичность: – периодическая функция 4) Монотонность: Функция возрастает в . Функция убывает в . Функция не убывает в . Функция не возрастает в 5) Функция называют ограниченной сверху (снизу) на множестве , если Функцию ограниченную сверху и снизу на множестве называют ограниченной на . 6) Если условия пункта 5) не выполняются, то функция называется неограниченной. 4.3. Сложная функция. Обратная функция Сложная функция. Пусть заданы функции и , причем . Функцию называют сложной функцией или композицией (суперпозицией) функций и и обозначают символом ( – независимая переменная; –промежуточный аргумент): Обратная функция. Пусть функция отображает Рассмотрим взаимно однозначное отображение Тогда можно говорить об обратной функции Теорема. Если числовая функция монотонна, то ( обратная функция Это достаточное условие обратимости. 1) Линейная функция: 2) Степенная функция: 3) Показательная функция: 4) Логарифмическая функция: 5) Тригонометрические функции: 6) Обратные тригонометрические функции: 7) Гиперболические функции: 8) Обратные гиперболические функции: 4.5. Классификация функций 1) Целые рациональные функции: 2) Дробно-рациональные функции: Совокупность 1) и 2) – класс рациональных функций. 3) Иррациональные функции: получаются с помощью конечного числа суперпозиций и четырех арифметических действий над степенными функциями как с целыми, так и с дробными показателями. Совокупность 1), 2) и 3) – класс алгебраических функций. 4) Трансцендентные функции: и т. д. 4.6. Параметрическое задание функций – называется параметром. Если – монотонна, то Тогда Всякую явно заданную функцию можно представить параметрически Параметрическое задание линий на плоскости Множество точек плоскости координаты которых удовлетворяют , параметрически задают линию 1) Прямая линия: 2) Окружность с центром в начале координат: 3) Эллипс: 4) Парабола: 5) Гипербола: 6) Астроида: 7) Циклоида: 143_Бутырин_3 Цилиндрическим телом называется тело, ограниченное замкнутой областью плоскости , поверхностью , где функция непрерывна и неотрицательна в области и цилиндрической поверхностью с образующей параллельной оси и направляющей – границей области . Р... 143_Бутырин_4 Выберем в каждой из частичных областей произвольную точку с координатами . Объем цилиндрического тела между опорной плоскостью и поверхностью над частичной областью площадью равен . Объем всего цилиндрического тела равен . Устремим наибольший диаметр частичных областей к нулю, при этом , и рассмотрим предел интегральной суммы . Если этот предел существует, то . Определение. Двойным интегралом от функции по области называется предел, к которому стремится интегральная сумма при стремлении к нулю наибольшего диаметра частичных областей . Здесь – подынтегральное выражение; – подынтегральная функция; – элемент площади; – область интегрирования. Таким образом . Теорема существования двойного интеграла Если непрерывна в замкнутой ограниченной области , то ее интегральная сумма стремится к пределу при стремлении к нулю наибольшего диаметра частичных областей. Этот предел не зависит от способа разбиения области на частичные области и выбора в них то... Свойства двойных интегралов 1) . 3) , . Тогда . 4) Если , то . 5) Если , , то , где . 6) . – среднее значение в области . Вычисление двойных интегралов Разобьем область с помощью линий, параллельных осям координат с шагом и соответственно. Тогда и, следовательно, . Пусть - правильная в направлении , т. е. всякая прямая, проходящая через внутреннюю точку параллельно , пересекает границу ровно в двух точках. Тогда . Вычисление двойного интеграла сводится к вычислению повторного, т. е. вычисляется сначала внутренний интеграл по ( предполагается постоянной), а . Если область – правильная в направлении , то и тогда . Правые части формул называются повторными (или двукратными) интегралами. Процесс расстановки пределов интегрирования называется приведением двойного интеграла к повторному. Пример: Область ограничена линиями , , , она правильная и в направлении и в направлении . Поэтому . 12.2. Замена переменных в двойном интеграле При переходе от переменных к переменным двойной интеграл примет вид , где – функциональный определитель Якоби (якобиан). Итак, 1. область заменяем на ; 2. – элемент площади в координатах Предполагается, что функции непрерывны со своими частными производными в , и устанавливают взаимно однозначное соответствие между точками и , за исключением, может быть, отдельных точек. 12.3. Двойной интеграл в полярных координатах – полярный радиус. – полярный угол. Положение любой точки определяется заданием или . Связь декартовых и полярных координат: Вычислим якобиан: Двойной интеграл от функции по области в полярных координатах примет вид: Элемент площади в полярных координатах вычисляется по формуле . Пример: . 12.4. Приложения двойных интегралов 1) Масса плоской пластинки. Поверхностная плотность . Элемент массы равен . Масса всей пластинки равна . 2) Статические моменты инерции и центр тяжести пластинки. , . , . 3) Моменты инерции пластинки , . Центробежный момент инерции . Полярный момент инерции относительно оси . 13. ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 13.1. Масса неоднородного тела. Тройной интеграл Рассмотрим тяжелое тело с переменной плотностью Разобьем тело произвольным образом на частей объемами Выберем в каждой части произвольную точку Масса части приближенно равна Просуммируем массу всех частей Выражение в правой части называется интегральной суммой. Устремим наибольший диаметр элементарных объемов к нулю и рассмотрим предел Если этот предел интегральной суммы существует, то, очевидно, он равен массе тела и называется тройным интегралом от функции по области Вообще, тройным интегралом от функции по области называется предел интегральной суммы Свойства тройных интегралов аналогичны свойствам двойных интегралы: 1) 2) 3) , . Тогда 4) Если , то 5) Если , , то , где 6) – среднее значение f в области V. 13.2. Вычисление тройных интегралов 1) Декартовы координаты. Пусть дан тройной интеграл Разобьем область интегрирования на элементарные части плоскостями, параллельными координатным плоскостям. Тогда элементарный объем равен Следовательно Правило вычисления тройного интеграла 2) Цилиндрические координаты. Якобиан преобразования равен Тройной интеграл в цилиндрических координатах примет вид 3) Сферические координаты. 143_Бутырин_5 Якобиан преобразования вычисляется по формуле Тройной интеграл в цилиндрических координатах примет вид 13.3. Приложения тройных интегралов Пусть дано тело переменной плотности . Массу тела можно вычислить по формуле 1) Статические моменты инерции тела относительно координатных плоскостей 2) Координаты центра тяжести: Если тело однородно, т. е. то 3) Моменты инерции тела относительно координатных осей: 4) Центробежные моменты инерции тела: 5) Полярный момент инерции тела: 14.1. Криволинейный интеграл по длине (1-го рода) Дифференциал длины дуги в плоском случае для линии, заданной уравнением равен Дифференциал длины дуги в пространственном случае для линии, заданной уравнениями равен При параметрическом задании линии дифференциал длины дуги в плоском случае равен а в пространственном случае Определение. Криволинейным интегралом 1-го рода от функции двух переменных , взятым по отрезку плоской кривой, называется число, получаемое следующим образом: 1) Дуга разбивается на элементарных дуг произвольно выбранными точками , идущими от начала дуги до конца . 2) Внутри (или на границе) каждой элементарной дуги выбирается одна произвольная точка с координатами 3) Значения функции в этих выбранных точках умножаются на длины дуг (эти длины считаются положительными). 4) Все полученные произведений складываются. 5) Вычисляется предел суммы Если этот предел существует и не зависит от выбора точек то он называется криволинейным интегралом 1-го рода Аналогично определяется криволинейный интеграл 1-го рода для функции трех переменных взятый по отрезку пространственной кривой Теорема существования. Если функция или непрерывна, а кривая на отрезке непрерывна и имеет непрерывную касательную, то криволинейный интеграл 1-го рода существует. Вычисление криволинейного интеграла 1-го рода. Оно сводится к вычислению определенного интеграла: 1) Если уравнения пути интегрирования заданы в параметрической форме (для пространственной кривой ), , то Здесь значение параметра берется для точки , значение параметра берется для точки . Точки и выбираются так, чтобы выполнялось неравенство 2) Если уравнение пути интегрирования задано в явном виде для плоской кривой (для пространственной кривой ), то Здесь значение берется для точки , значение берется для точки . Точки и выбираются так, чтобы выполнялось неравенство Приложения криволинейного интеграла 1-го рода 1) Длина криволинейного отрезка : 2) Масса тяжелого неоднородного криволинейного отрезка переменной плотности 14.2. Криволинейный интеграл по координатам (2 – го рода) Задача о работе силового поля Предположим, что в области задано плоское силовое поле. Тогда на материальную точку в в поле действует сила определенная для всякой точки Считаем, что поле стационарное (не зависит от времени ) Пусть материальная точка движется по линии Вычислим работу по перемещению материальной точки по линии из в . Разобьем линию на частей точками Работа на отрезке равна или Тогда Просуммируем по всем отрезкам Выражение в правой части называется интегральной суммой по линии Пусть – длина частичного участка разбиения кривой Переходя к пределу при получим истинную величину работы Определение. Криволинейным интегралом 2-го рода по линии называется предел интегральной суммы при стремлении к нулю длины наибольшего частичного участка разбиения кривой В частности, если то интеграл примет вид и называется криволинейным интегралом по координате Если то интеграл примет вид и называется криволинейным интегралом по координате Работа силового поля по кривой есть где проекции на оси координат. Вычисление криволинейного интеграла 2-го рода. но сводится к вычислению определенных интегралов. Правило. Вычисление криволинейного интеграла 2-го рода от точки до точки по линии производится по фор-муле Следовательно, криволинейный интеграл 2-го рода всегда существует, если непрерывны, а непрерывны со своими производными. Если уравнение линии задано в явном виде то, полагая имеем Если линия задана уравнениями разных видов, то линию нужно разбить на отдельные участки интегрирования. 14.3. Криволинейный интеграл по замкнутому контуру Рассмотрим замкнутый контур на плоскости . Положительным направлением обхода контура будем считать направление против часовой стрелки. Криволинейный интеграл 2-го рода по замкнутому контуру обозначается Теорема. Если область ограниченную замкнутой кривой разбить на две части и то криволинейный интеграл по всей линии равен сумме интегралов по линиям и 14.4. Формула Грина Теорема. Если функции и непрерывны вместе со своими производными в замкнутой области ограниченной контуром то 14.5. Условие независимости криволинейного интеграла 2-го рода от пути интегрирования Это означает, что величина работы силового поля по перемещению материальной точки не зависит от пути, а только от начальной и конечной точек. Теорема. Пусть функции и непрерывны вместе со своими производными в замкнутой области Тогда, для того чтобы криволинейный интеграл 2-го рода не зависел от линии интегрирования, лежащей в необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство Равносильные утверждения: 1) Криволинейный интеграл 2-го рода взятый по любому замкнутому контуру, целиком лежащему в области равен нулю. 2) Криволинейный интеграл 2-го рода не зависит от линии интегрирования, соединяющих две данные точки. 3) Во всех точках области 14.6. Криволинейные интегралы 2-го рода по пространственным линиям Работа силового поля по перемещению материальной точки по линии равна 143_Бутырин_6 Трехмерная область называется поверхностно односвязной, если на любой простой кусочно-гладкий контур, принадлежащий , можно натянуть поверхность, целиком лежащую в . Примеры. Односвязная область: шар, эллипсоид. Не односвязная область: тор. Теорема. Пусть функции непрерывны вместе со своими производными в поверхностно односвязной области Тогда равносильны утверждения: 1) Криволинейный интеграл 2-го рода взятый по любому замкнутому контуру равен нулю. 2) Криволинейный интеграл 2-го рода не зависит от линии интегрирования. 3) 14.7. Связь криволинейных интегралов 1-го и 2-го рода , где – направляющие косинусы контура L. 15. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Пусть – непрерывная функция и – гладкая поверхность , где задана в некоторой области плоскости . Поверхностным интегралом I рода называется предел интегральной суммы при условии, что : , где – площадь -го элемента поверхности , точка принадлежит этому элементу, – диаметр этого элемента, определена в каждой точке поверхности . Значение этого интеграла не зависит от выбора стороны поверхности , по которой производится интегрирование. Поверхностный интеграл I рода вычисляется по формуле Рассмотрим двустороннюю поверхность и выберем на ней определенную сторону . Функция определена в точках данной поверхности. Предел интегральной суммы , где – проекция на плоскость -го элемента поверхности , имеющего площадь , при условии назы... . Если , , – непрерывные функции и – сторона гладкой поверхности , характеризуемая направлением нормали , то соответствующий поверхностный интеграл II рода выражается так: . При переходе на другую сторону поверхности этот интеграл меняет знак на противоположный. Если поверхность задана уравнением в неявном виде , то направляющие косинусы нормали этой поверхности определяются по формулам , , , где знак перед радикалом должен быть согласован со стороной поверхности. 16. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ 16.1.Скалярное поле Определение. Скалярное поле определяется скалярной функцией точки , где – точка пространства, – ее радиус-вектор. Поверхности уровня – const. Линии уровня плоского скалярного поля – const. Оператор Гамильтона (линейный дифференциальный оператор (набла)): . Градиент. Градиент скалярного поля – вектор , . Свойства градиента , ,, ,, , , . Градиент скалярного поля в цилиндрических координатах . Градиент скалярного поля в сферических координатах . Производная скалярного поля по направлению ,. , если имеет направление . 16.2. Векторное поле Определение. Векторное поле определяется векторной функцией точки где – точка пространства; – ее радиус-вектор. Векторная линия (силовая линия, линия тока) поля – решение системы . Дивергенция (расходимость) векторного поля . Свойства дивергенции , , , , , , Дивергенция векторного поля в цилиндрических координатах . Дивергенция векторного поля в сферических координатах Ротор (вихрь) векторного поля или в символическом виде . Свойства ротора , , , , . Поток векторного поля через поверхность в сторону, определяемую единичным вектором нормали , , где – величина проекции вектора на направление вектора . Если поверхность задана уравнением , поток через верхнюю сторону поверхности можно вычислить по формуле Если уравнение поверхности есть , , то . Линейный интеграл от вектора по линии , где – проекция вектора на касательную к . Линейный интеграл выражает работу векторного поля вдоль линии . Циркуляция векторного поля вдоль контура – линейный интеграл вдоль замкнутой линии . Формула Стокса или в векторной форме , где – единичный вектор нормали к поверхности , направление которого таково, что при обходе контура поверхность остается слева. Формула Остроградского или в векторной форме , где – внешняя сторона поверхности, ограничивающей тело ; – единичный вектор внешней нормали к ней. Векторное поле – потенциальное, если . Функция называется потенциалом векторного поля . Поле потенциально в поверхностно односвязной области тогда и только тогда, когда или , . Потенциал в этом случае можно найти по формуле . Векторное поле называется соленоидальным, если . Оператор Лапласа . Оператор Лапласа в цилиндрических координатах . Оператор Лапласа в сферических координатах . Уравнение Лапласа . Функции, удовлетворяющие уравнению Лапласа, называются гармоническими. Операции второго порядка , , , , , где . 17. Обыкновенные дифференциальные уравнения 17.1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка 17.1.1. Общие понятия. Теорема существования Дифференциальные уравнения для функции одной переменной называются обыкновенными. Общий вид дифференциального уравнения 1-го порядка или . Определение. Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке ее вместе с производной в это уравнение, превращает его в тождество. Примеры: 1) . Решение , где – произвольная постоянная. 2) . Решение . Дифференциальное уравнение 1-го порядка имеет бесчисленное множество решений, которые обычно определяются формулой , содержащей одну произвольную постоянную. Такое множество решений называют общим решением дифференциального уравнения. Придавая оп... При решении конкретных задач нас будет интересовать частное решение, определяемое начальным условием. Обычно начальное условие задается парой значений или . Задача отыскания частного решения дифференциального уравнения при начальном условии называется задачей Коши. Теорема Коши о существовании и единственности решения Пусть дано дифференциальное уравнение и начальное условие . Если функция и ее частная производная непрерывны в открытой области, содержащей точку , то в достаточно малом интервале это уравнение имеет единственное решение , удовлетворяющее заданном... График частного решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой. Общее решение – семейство интегральных кривых. Чтобы отыскать частное решение, нужно в общее решение подставить и разрешить уравнение относительно . Пример: Дифференциальное уравнение . Общее решение . Начальное условие . Подставим начальное условие в общее решение дифференциального уравнения. Получим алгебраическое уравнение для определения произвольной постоянной : . Следовательно . Частным решением дифференциального уравнения, удовлетворяющим начальному условию будет . Общее решение дифференциального уравнения не обязательно должно быть получено в явном виде, также является общим решением дифференциального уравнения. 17.1.2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Рассмотрим дифференциальное уравнение . Проинтегрировав, получим общее решение . Если , то получим частное решение . Пример: . Определение. Дифференциальные уравнения, в которых переменные можно разделить посредством умножения или деления обеих частей уравнения на одно и то же выражение, называются дифференциальными уравнениями с разделяющимися переменными: 1) . 2) . Внимание! Может произойти потеря частного решения. Пример: Рассмотрим дифференциальное уравнение . Решение. Разделим переменные и проинтегрируем полученное выражение . При делении на мы могли потерять частное решение , но оно содержится в общем интеграле, если . 17.1.3. Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям Нет общего метода составления дифференциальных уравнений. Каждая задача требует своего подхода и знания законов физики. 1) Радиоактивный распад. Экспериментально установлено, что скорость распада пропорциональна количеству не распавшегося вещества. Определить период полураспада вещества, если в момент масса равна . Решение. , , , , , , , . Период полураспада . Тогда . ( – определяется экспериментально). 2) Охлаждение тела. Скорость охлаждения тела пропорциональна разности между температурой тела и температурой окружающей среды . Найти формулу для расчета температуры тела, если . Решение. , . , , . , : , . Окончательно . 17.1.4. Однородные дифференциальные уравнения Определение. Дифференциальное уравнение называется однородным, если функция может быть представлена, как функция отношения своих аргументов . Пример. . Решение. . Функция называется однородной функцией измерения , если . Примеры: 1) – 1-й порядок однородности: . 2) – 2-й порядок однородности: . 3) – нулевой порядок однородности (просто однородная функция): . Пример приведения функции: . Введем вспомогательную функцию или Дифференциальное уравнение , где – однородная функция нулевого измерения, можно преобразовать к уравнению с разделяющимися переменными. Действительно, . Тогда , , , . Вычислив интеграл, и перейдя от к , получим . Предполагается, что . Если , то . Пример: . Решение. , , . Тогда . Проинтегрировав, получим или . Окончательно или . 17.1.5. Дифференциальные уравнения, приводящиеся к однородным Рассмотрим два случая. 1) Если производят замену переменных где находятся из решения системы алгебраических уравнений В результате дифференциальное уравнение сводится к однородному уравнению. 2) Если производят замену переменных В результате дифференциальное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными. 17.1.6. Линейные дифференциальные уравнения. Уравнение Бернулли Определение. Дифференциальное уравнение вида т. е. линейное относительно неизвестной функции и ее производной называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением. Для решения такого типа уравнений рассмотрим два метода: метод Лагранжа и метод Бернулли. Метод Лагранжа (метод вариации произвольной постоянной). Рассмотрим однородное дифференциальное уравнение Это уравнение с разделяющимися переменными . Пусть общее решение неоднородного линейного дифференциаль-ного уравнения имеет такой же вид, но считается функцией , подлежащей определению, т. е. Найд... и подставим в исходное неоднородное уравнение и , Общее решение линейного дифференциального уравнения 1-го порядка имеет вид Метод Бернулли (метод замены переменной) Представим неизвестную функцию как произведение двух функций Подставим в исходное уравнение и Получим или Потребуем, чтобы функция была такой, что выра-жение тождественно равнялось нулю. Тогда исходное уравнение сводится к двум уравнениям с разделяющимися переменными: и Решим их последовательно. 1) 2) Уравнение Бернулли Пример: 1) Метод Лагранжа. Решаем однородное уравнение Для исходного уравнения варьируем : Тогда 2) Метод Бернулли. а) б) 17.1.7. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах Определение. Если левая часть уравнения является полным дифференциалом некоторой функции то это уравнение называется дифференциальным уравнением в полных дифференциалах. Это выполняется, если и их частные производные непрерывны в односвязной области и Тогда При этом или , где принадлежат области определения и . Примеры: 1) 2) Положим Интегрирующий множитель Если то вводят интегрирующий множитель такой, что 1) Если то 2) Если то Замечание. Случаи 1) и 2) реализуются, если подынтегральное выражение в 1) и 2) зависят только от для 1) или только от для 2). Пример: Умножим исходное уравнение на множитель . , , Значит, полученное уравнение, есть уравнение в полных дифференциалах. Тогда . , 17.2. Дифференциальные уравнения высших порядков 17.2.1. Дифференциальные уравнения 2-го порядка Определение. Уравнения вида называются дифференциальными уравнениями 2-го порядка. Дифференциальное уравнение, разрешенное относительно второй производной , имеет вид Пример: Решение. Последовательно интегрируя, получим Лемма. Дифференциальное уравнение 2-го порядка обычно имеет бесчисленное множество решений, определяемых формулой содержащей две произвольные постоянные. Это множество решений называется общим решением. Частные решения дифференциального уравнения определяются из начальных условий Пример: Решение. Это задача Коши для дифференциального уравнения второго порядка. Последовательно интегрируя, получим Используем начальные условия Геометрический смысл начальных условий: Помимо точки задаем угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в точке численно равный . Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши Если функция и ее производные непрерывны в окрестности значений то дифференциальное уравнение в достаточно малом интервале имеет единственное решение удовлетворяющее заданным начальным условиям Из теоремы следует, что уравнение при заданных начальных условиях имеет единственное решение. Если задать начальные условия при то теорема о существовании дать ответ не может, так как при правая часть уравнения имеет особенность. Для дифференциального уравнения 2-го порядка часто задают граничные условия (краевые условия) (сопромат (изгиб балки), математическая физика и т.д.). В этом случае может быть одно решение, может решение не существовать и может быть бесконечное мно... Пример: 17.2.2. Частные случаи дифференциальных уравнений 2-го порядка, допускающие понижение порядка 1) Правая часть не содержит и 2) Правая часть не содержит явно. Замена Это дифференциальное уравнение 1-го порядка, решение которого . Тогда Пример: Решение. Введем новую переменную – линейное дифференциальное уравнение; его решение Тогда 3) Правая часть не содержит явно. Замена Это дифференциальное уравнение 1-го порядка. Пример: Решение. 1) ; 2) . 17.2.3. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка 1) Уравнения вида ………………………………… Пример: Решение. 2) Уравнения вида не содержит явно . Подстановка понижает порядок уравнения на : 3) Уравнения вида не содержит явно . Подстановка понижает порядок уравнения на 1: и т. д. 17.2.4. Дифференциальные уравнения высших порядков Определение. Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной, входящей в уравнение Дифференциальное уравнение, разрешенное относительно производной имеет вид Общее решение дифференциального уравнения имеет вид 143_Бутырин_7 Частные решения дифференциального уравнения определяются из начальных условий Теорема о существовании и единственности решения Если функция и ее производные непрерывны в окрестности значений то дифференциальное уравнение в достаточно малом интервале имеет единственное решение удовлетворяющее заданным начальным условиям 17.3. Линейные дифференциальные уравнения 17.3.1. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка Определение. Линейным дифференциальным уравнением 2-го порядка называется дифференциальное уравнение 1-й степени относительно неизвестной функции и ее производных Функция называется правой частью дифференциального уравнения. Если то уравнение называется однородным, в противном случае уравнение называется неоднородным. Если непрерывны, то существует единственное решение удовлетворяющее заданным начальным условиям. 17.3.2. Однородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка Считаем, что непрерывны на Тривиальное решение Теорема 1. Если - решения дифференциального уравнения , (*) то их линейная комбинация также является решением уравнения (*) для любых Теорема 2. Если – решения дифференциального уравнения и (т.е. – линейно независимы), то общее решение дифференциального уравнения. 17.3.3. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка Теорема. Общее решение неоднородного дифференциального уравнения есть сумма общего решения однородного уравнения и любого частного решения неоднородного уравнения. 17.3.4. Однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами Ищем решение в виде где – действительное или комплексное число. Тогда Подставим в дифференциальное уравнение Получили характеристическое уравнение . Корни характеристического уравнения равны . Рассмотрим 3 варианта решения этого уравнения. 1) действительные числа. Получили два решения дифференциального уравнения Общее решение дифференциального уравнения - произвольные постоянные. Пример. Решение. Характеристическое уравнение . 2) действительное число. Покажем, что Подставим в левую часть уравнения : По теореме Виета т.е. Следовательно Пример: Решение. 3) Если дифференциальное уравнение с действительными коэффициентами имеет комплексное решение y = то каждая из функций и является действительным решением уравнения. По формуле Эйлера , , . Тогда Пример. Решение. , 17.3.5. Неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами Общее решение дифференциального уравнения имеет вид где – общее решение однородного уравнения, – частное решение неоднородного уравнения или Найдем . Рассмотрим частные случаи. I) Правая часть имеет вид где – многочлен -й степени. Решение где: – многочлен той же степени, что и – кратность показателя среди корней характеристического уравнения (если такого корня нет, то ). Коэффициенты многочлена находим методом неопределенных коэффициентов. Примеры: 1) Решение. а) Находим . кратность корня б) Ищем . Показатель правой части . Поэтому т.к. среди корней характеристического уравнения нет такого корня. В правой части уравнения стоит . Поэтому Подставим в дифференциальное уравнение Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях равенства Из начальных условий имеем 2) Решение а) б) Правая часть имеет вид Показатель правой части 3) Решение. а) б) Показатель правой части: . II) Правая часть имеет вид а) Если не является корнем характеристического уравнения, то б) Если является корнем характеристического уравнения, то Примеры: 1) Решение. а) б) Показатель правой части: . . 2) а) Показатель правой части . б) Показатель правой части , III) Правая часть имеет вид где – многочлены степени соответственно. Возможны два случая. а) – не есть корень характеристического уравнения. Тогда частное решение неоднородного уравнения имеет вид где – многочлены степени б) – есть корень характеристического уравнения. Тогда частное решение неоднородного уравнения имеет вид где – многочлены степени Случай (I) получается, если случай (II) получается, если Степени одного из многочленов могут получиться меньше Пример: Решение. Показатель правой части: . Теорема. Пусть правая часть дифференциального урав-нения равна сумме двух функций Пусть – частное решение при – частное решение при Тогда 17.3.6. Метод вариации произвольных постоянных Дано линейное дифференциальное уравнение (*) Рассмотрим однородное уравнение Общее решение данного уравнения имеет вид Будем искать частное неоднородного решение уравнения в виде Далее везде примем обозначение Так как определению подлежат две функции то одним соотношением между ними распорядимся произвольно. Наиболее целесообразно подчинить условию Тогда Подставим в неоднородное уравнение (*) Получили систему дифференциальных уравнений для определения Пример: Решение. , , 17.3.7 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка Выше изложенное в пп. 17.3.2-17.3.6 переносится на дифференциальные уравнения порядка Сначала рассмотрим однородное уравнение Линейно независимые системы функций. Рассмотрим систему функций Линейной комбинацией их будет где – постоянные. Определение. Система функций называется линейно независимой, если ни одну из этих функций нельзя представить в виде линейной комбинации остальных, т. е. ни для какого не может выполняться равенство В частности линейно независимы, если Если не есть линейно независимые функции, то они линейно зависимы. Пример: , т. е. – линейно зависимы. Теорема. Если суть частных линейно независимых решений однородного дифференциального уравнения, то общим решением этого уравнения будет Если – линейно зависимые решения, то, по крайней мере, одно из них выразится через остальные и функция будет зависеть не от , а от произвольных постоянных. Она не даст общего решения дифференциального уравнения. Условием линейной независимости частных решений дифференциального уравнения является отличие от нуля вронскиана функций Если заданы начальные условия то, для получения из общего решения частного решения, надо решить систему алгебраических уравнений линейно независимых решений дифференциального уравнения -го порядка образуют фундаментальную систему решений. Общее решение неоднородного дифференциального уравнения Теорема. Если – фундаментальная система решений дифференциального уравнения то решением дифференциального уравнения является функция где находятся из системы Определитель системы есть определитель Вронского (вронскиан). 17.3.8 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида А) Однородное дифференциальное уравнение Характеристическое уравнение 1) Каждому действительному корню кратности соответствует линейно независимых решений 2) Каждой паре комплексно сопряженных корней кратности соответствует линейно независимых решений Порядок дифференциального уравнения есть поэтому линейно независимых решений будет Пример: Решение. Б) Рассмотрим неоднородное дифференциальное уравнение где – правая часть специального вида, – многочлен степени – многочлен степени Частное решение имеет вид где – многочлены степени – кратность среди корней характеристического уравнения. Неопределенные коэффициенты многочленов ищем способами, аналогичными рассмотренным для уравнения 2-го порядка (см. п. 17.3.5). 17.4. Системы дифференциальных уравнений 17.4.1. Общие определения. Нормальные системы дифференциальных уравнений Существуют процессы, где одной функции недостаточно для описания процесса. Далее – независимая переменная; (или , если функций не больше трех) - неизвестные функции. Определение. Системой дифференциальных уравнений называют совокупность уравнений, в каждое из которых входят независимые переменные, искомые функции и их производные. Примеры: 1) 2) Решением системы дифференциальных уравнений называют совокупность функций которая при подстановке в уравнения превращает их в тождества. Определение. Нормальной системой дифференциальных уравнений называется система уравнений вида Многие системы дифференциальных уравнений можно привести к нормальной системе. Пример: Некоторые системы дифференциальных уравнений нельзя привести к нормальной системе. Их рассматривать не будем. Система дифференциальных уравнений, содержащая производные высших порядков, может быть приведена к нормальной системе. Пример. Введем дополнительные функции Тогда Одно дифференциальное уравнение -го порядка может быть сведено к нормальной системе дифференциальных уравнений. Пример: Нормальная система дифференциальных уравнений, обычно, может быть заменена одним дифференциальным уравнением, порядок которого равен числу уравнений системы. Пример: Обратный случай, когда система дифференциальных уравнений не может быть сведена к одному дифференциальному уравнению. Пример: Решение. Первое уравнение не зависит от остальных. Поэтому имеем два уравнения Теорема. Общее решение нормальной системы дифференциальных уравнений имеет вид где – произвольные постоянные. могут входить не во все решения. Задание начальных условий дает частное решение системы дифференциальных уравнений, при этом находятся из условий Теорема. Если правые части нормальной системы дифференциальных уравнений непрерывны вместе со своими частными производными в окрестности значений то в достаточно малом интервале существует единственная система функций являющаяся решением системы и ... 17.4.2. Системы линейных дифференциальных уравнений А) Однородная система линейных дифференциальных уравнений 1) Если известно частное решение системы линейных дифференциальных уравнений, то тоже является решением системы, где – произвольная постоянная. 2) Если известны два частных решения системы линейных дифференциальных уравнений и то тоже является решением системы. 3) Если известны частных линейно независимых решений системы …; то является общим решением однородной системы линейных дифференциальных уравнений. Совокупность линейно независимых решений …; образует фундаментальную систему решений Б) Общее решение неоднородной системы линейных дифференциальных уравнений есть сумма общего решения однородной системы и частного решения неоднородной системы. При заданных начальных условиях получают частное решение системы линейных дифференциальных уравнений. Для этого необходимо подставить начальные условия в общее решение системы. Получим алгебраическую систему уравнений . Решая систему, получим частное решение системы линейных дифференциальных уравнений. Для того, чтобы система алгебраических уравнений имела единственное решение, необходимо, чтобы определитель Вронского 17.4.3. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Рассмотрим однородную систему линейных дифференциальных уравнений (*) Будем искать решения в виде где – неопределенные постоянные. Дифференцируя решения и подставляя в (*), имеем Отсюда (**) Чтобы система линейных однородных алгебраических уравнений имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель системы равнялся нулю Раскрыв определитель, получим характеристическое алгебраическое уравнение -й степени. А) Предположим, что корни характеристического уравнения действительные и простые. Рассмотрим решение на примере системы трех уравнений. Пусть корень характеристического уравнения равен . Тогда из (**) (***) Определитель системы равен нулю. Если – простой корень, то, по крайней мере, один из миноров 2-го порядка не равен нулю. Тогда одно из уравнений (***) следует из остальных. Пусть первые два уравнения линейно независимы. Тогда одно из решений будет , где – произвольные постоянные. Все остальные решения получаются умножением чисел на одну и ту же произвольную постоянную. Поступая так со всеми корнями характеристического уравнения, найдем три системы функций, каждая из которых является решением системы линейных дифференциальных ... Эти решения линейно независимы и образуют фундаментальную систему решений. Общее решение системы линейных дифференциальных уравнений имеет вид Пример: Решение. Возьмем 1-е и 3-е уравнения. Общее решение Б) Если среди простых корней характеристического уравнения есть комплексно сопряженные, то решение будет в виде комплексных функций действительной переменной. Чтобы перейти к действительной форме, используют следующее: если являются решением, то и ... Пример: Решение. приведет к тем же решениям или линейно зависимым с ними. В итоге общее решение: Подбор частного решения для системы неоднородных уравнений можно производить сведя систему к одному уравнению высшего порядка и используя методы, изложенные ранее (см. п. 17.3.5, 17.3.6, 17.3.8). 143_Бутырин_8 17.4.4. Случай кратных корней характеристического уравнения Для кратных корней решение усложняется. Если для одного уравнения можно сразу написать структуру общего решения, то здесь иначе. Покажем на примерах. Примеры: 1. Решение. Из (**) при имеем Для кратного корня система уравнений (**) сводится к одному уравнению Произвольно можно задать две величины Тогда т. е. Получили фундаментальную систему решений, так как Общее решение 2. Решение. Из (**) при , имеем , Из (**) при , Третье решение таким способом получить не удастся. Будем искать решение в виде где определяются методом неопределенных коэффициентов. Продифференцируем и подставим в систему дифференциальных уравнений. После сокращения на получим Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях получим: Полагая имеем Итак Решение с индексом 2 получается, если Если положить получим третье решение Три решения образуют фундаментальную систему решений. Правило. Если характеристическое уравнение системы дифференциальных уравнений имеет корень кратности , то ему отвечает решение, зависящее от произвольных постоянных где – многочлены степени не выше 17.4.5. Матричная форма записи однородной системы дифференциальных уравнений Пусть , Тогда (1) – матричная запись системы. Частные решения Общее решение Определение. Система векторных функций называется линейно независимой, если Это выполняется, если определитель не равен нулю для всякого . Для однородной системы с постоянными коэффициентами решение ищем в виде: Тогда Подставим и в систему дифференциальных уравнений (1) где (2) где – единичная матрица, – собственное число матрицы – собственный вектор матрицы Характеристическое уравнение (3) Из (3) находим собственные числа матрицы (корни характеристического уравнения), а из (2) – собственные векторы. 18. Ряды 18.1. Числовые ряды 18.1.1. Определение ряда и его суммы Пусть дана бесконечная последовательность . Определение. Выражение называется рядом, а числа – членами ряда. Краткая запись . – общий член ряда. Ряд считается заданным, если задана функция Если отбросить первые членов ряда, то получится ряд , называемый остатком ряда. Примеры: 1) . 2) . Иногда ряд задают рекуррентной формулой. Пример: Тогда и т. д. Пусть дан ряд . Обозначим – частичная сумма ряда. Образуем последовательность частичных сумм : Определение. Если существует предел последовательности то ряд сходящийся и – его сумма. Если последовательность не стремится к пределу, то ряд расходящийся. Последнее имеет место в двух случаях: 1) 2) не существует Примеры: 1) 2) 3) не существует. Свойства сходящихся рядов 1) Если ряд сходится, то сходится ряд . 2) Если ряды и сходятся и имеют суммы , то сходится ряд 3) Если ряд сходится, то сходится и ряд, в котором выброшено конечное число членов. Следствие. Если ряд сходится, то сходится и любой его остаток. 18.1.2. Необходимый признак сходимости ряда. Гармонический ряд Необходимый признак. Если ряд сходится, то Если то ряд расходится. Пример: Ряд расходится. Замечание. Вообще условие не означает сходимости ряда. Гармонический ряд . Запишем ряд в виде . Новый ряд расходится. Значит, гармонический ряд расходится. Частичная сумма гармонического ряда ( – постоянная Эйлера: ). Обобщенный гармонический ряд сходится при и расходится при (см. п. 18.1.3.4). Пример: 18.1.3. Ряды с положительными членами. Достаточные признаки сходимости ряда 18.1.3.1. Признаки сравнения Рассмотрим ряд такой, что Лемма. Если частичные суммы ряда с положитель-ными членами ограничены сверху то ряд сходится. Если ряд сходится, то Если ряд с положительными членами расходится, то Признак сравнения. Пусть даны два ряда с положительными членами (1), (2) и Тогда: 1) если сходится ряд (2), то сходится ряд(1); 2) если расходится ряд (1), то расходится ряд(2). Признак справедлив, если условие выпол-няется, начиная с какого-либо номера , в силу 3-го свойства сходящихся рядов. Пример Сравним с расходящимся рядом . исходный ряд расходится. Предельный признак сравнения. Если , то при ряды и сходятся или расходятся одновременно; при из сходимости ряда следует сходимость ряда ; при из расходимости ряда следует расходимость ряда . Пример: Сравним с расходящимся рядом ; Значит, исходный ряд расходится. 18.1.3.2. Признак д’Аламбера Пусть дан ряд Если существует предел то при – ряд сходится, при – ряд расходится, при – ряд может сходится или расходиться. Примеры: 1) Применим признак д’Аламбера: , значит, ряд сходится. 2) Применим признак д’Аламбера: – о сходимости ряда ничего сказать нельзя. Необходимо применить другой достаточный признак сходимости. 18.1.3.3. Радикальный признак Коши Пусть дан ряд Если существует предел то при – ряд сходится, при – ряд расходится, при – ряд может сходится или расходиться. Пример: Применим радикальный признак Коши: – ряд сходится. 18.1.3.4. Интегральный признак Коши Теорема. Пусть дан ряд члены которого являются значениями непрерывной функции при целых значениях аргумента : и пусть монотонно убывает в интервале . Тогда ряд сходится, если сходится несобственный интеграл и расходится, если интеграл расходится. Пример: Применим интегральный признак Коши. 1) : а) ряд сходится; б) ряд расходится. 2) Оценка ошибки при приближенных вычислениях сум-мы ряда. Примеры: 1) Для заданного можно оценить из условия Для Данный ряд медленно (плохо) сходится. 2) 3) Чем «быстрее» члены ряда стремятся к нулю, тем быстрее ряд сходится. 18.1.3.5. Степенной признак Если ~ при , то при ряд сходится, при – расходится. 18.1.3.6. Признак Абеля Если последовательность монотонна и ограниченна, а ряд сходится, то сходится ряд . 18.1.3.7. Признак Дирихле Если последовательность монотонно стремится к нулю, а частичные суммы ряда ограниченны, то ряд сходится. 18.1.3.8. Признак Раабе Если , то при ряд сходится, при – расходится. 18.1.3.8. Признак Гаусса Если , то при ряд сходится; при – расходится; при ряд сходится; при – расходится. 18.1.4. Знакопеременные ряды Знакопеременным называется ряд, члены которого имеют неодинаковые знаки Пример знакопеременного ряда . Знакопеременный ряд сходится, если сходится ряд В этом случае ряд называется абсолютно сходящимся. Сходящийся ряд называют условно сходящимся, если ряд расходится. Свойства абсолютно сходящихся рядов 1) Если ряд сходится абсолютно, то возможна перестановка бесконечного множества его членов. Если ряд сходится условно, то при перестановке бесконечного множества его членов можно получить расходящийся ряд или изменится сумма ряда. 2) Абсолютно сходящиеся ряды можно почленно складывать, вычитать и умножать и при этом их суммы складываются, вычитаются и умножаются. Например . Сумма полученного ряда равна произведению сумм исходных рядов. Пример: сходится абсолютно, так как сходится ряд , ибо , а ряд сходится. 18.1.5. Знакочередующиеся ряды Теорема Лейбница. Если в знакочередующемся ряде и то ряд сходится, причем Пример: Ряд сходится по признаку Лейбница, так как . Но ряд сходится плохо (медленно), так как 18.1.6. Некоторые ряды 18.2. Функциональные ряды 18.2.1. Общие определения Ряды , где предполагается, что определены и непрерывны, называют функциональными. Для одних значений ряд может сходится, для других – расходиться. При значении получим числовой ряд Если он сходится, то точка называется точкой сходимости функци... Пример: Ряд сходится в области При ряд расходится. Сумма ряда есть функция независимой переменной . В примере . Эта функция есть сумма ряда только при значениях Частичная сумма первых членов ряда обозначается остаток ряда – Если ряд сходится при каком-либо , то При конечном числе функций интеграл или производная от суммы равна сумме интегралов или производных. 18.2.2. Равномерная сходимость функциональных рядов Определение. Функциональный ряд называется равномерно сходящимся в области , если выполняется неравенство Признак Вейерштрасса равномерной сходимости рядов Ряд равномерно сходится в области если сходится числовой ряд такой, что . В этом случае ряд называют мажорантой ряда или мажорирующим рядом. Примеры: 1) . Так как ряд сходится, то ряд сходится равномерно в . 2) сходится Сумма ряда равна Эта сходимость равномерная для любой конечной области так как растет медленнее Для всей числовой оси сходимость неравномерная, так как можно найти такое что 18.2.3. Свойства равномерно сходящихся рядов Во всех теоремах предполагается, что область сходимости ряда, есть интервал оси Теорема 1. Если ряд из непрерывных функций равномерно сходится в , то его сумма есть функция, непрерывная в этой области. 143_Бутырин_9 Пример: Мы показали, что ряд сходится равномерно Следовательно его сумма непрерывна. Другое дело, что сумму найти трудно. Возьмем членов ряда. Их сумма равна Оценим предельную абсолютную ошибку Остаток ряда зависит от и не зависит от Теорема 2. Если ряд из непрерывных функций равномерно сходится в , то для . Теорема 2 справедлива и для переменного верхнего предела Теорема 3. Если ряд из функций, имеющих непрерывные производные, сходится в , а ряд из производных сходится равномерно в , то 18.3. Степенные ряды 18.3.1. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости Определение. Степенным рядом называют функциональный ряд Если то имеем ряд В дальнейшем будем рассматривать степенные ряды вида , так как они сводятся к рядам вида первого вида подстановкой вместо выражения . Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится в точке то он сходится абсолютно в интервале Следствие. Если степенной ряд расходится при то он расходится Область сходимости. Возможны три случая: 1) Область сходимости состоит только из одной точки Пример: а) ; б) если . Область сходимости: . 2) Область сходимости Пример: и для члены ряда меньше сходящейся геометрической прогрессии. Значит область сходимости 3) Область ограничена. Пример: Определение. Радиусом сходимости степенного ряда называется такое число ряд сходится, – расходится. Интервал называется интервалом сходимости. В первом примере во втором – в третьем – Для определения радиуса сходимости нужно исследовать ряд. Рассмотрим ряд а) Применим признак д’Аламбера к знакоположительному ряду . Тогда радиус сходимости б) Если , то применяя радикальный признак Коши д’Аламбера к знакоположительному ряду получим радиус сходимости Рассмотрим ряд Применяя признак д’Аламбера к знакоположительному ряду , получим Рассмотрим ряд где произвольная функция аргумента . Для определения области сходимости применяют признак д’Аламбера. В следующих примерах найти область сходимости степенных рядов. Примеры: 1. . 2. . На «концах» интервала сходимости : – ряд расходится, – ряд сходится условно. Окончательно 3. , . На «концах» области сходимости : – ряд сходится, – ряд сходится. Окончательно 4. . – ряд сходится условно; – ряд расходится. Окончательно 18.3.2. Свойства степенных рядов Рассмотрим степенной ряд (*) имеющий радиус сходимости Сумма ряда есть функция определенная внутри интервала сходимости, а также на тех концах интервала, где ряд сходится. Лемма 1. Степенной ряд равномерно сходится в любом интервале Лемма 2. Степенной ряд, составленный из производных ряда (*) (**) имеет тот же радиус сходимости, что и ряд (*). Если составить ряд из производных ряда (**), то у него тоже радиус сходимости равен Таким образом все степенные ряды, полученные последовательным дифференцированием ряда (*) имеют одинаковый радиус сходимости и равномерно сходятся в любом интервал... Свойства. 1) Сумма степенного ряда есть функция, не-прерывная в интервале сходимости ряда. Пример: Функция непрерывна всюду, за исключением точки Но она является суммой ряда только при (см. пример в п. 18.3.1.). 2) Степенной ряд можно почленно интегрировать в интервале сходимости и при этом 3) Степенной ряд можно почленно дифференцировать в интервале сходимости и при этом . Действия над степенными рядами. Если – радиус сходимости ряда – радиус сходимости ряда – числа, то ; ; 18.4. Разложение функций в степенные ряды 18.4.1. Ряд Тейлора Сумма степенного ряда непрерывна и бесконечное число раз дифференцируема в интервале сходимости. Рассмотрим обратный вопрос. Когда можно утверждать, что функция является суммой некоторого ряда? Определение. Рядом Тейлора функции в окрестности точки называется степенной ряд относительно разности коэффициенты которого выражаются через значения функции и ее производных в точке : 18.4.2. Условие разложимости функций в ряд Тейлора При каких условиях ряд Тейлора для функции сходится и его сумма равна ? Обозначим – многочлен -й степени (частичная сумма ряда Тейлора) Остаточный член ряда Сходимость ряда к функции означает, что или – ошибка аппроксимации функции многочленом . Пусть – многочлен -й степени. Продифференцируем раз. Последующие производные равны нулю. Получим формулу Тейлора для многочленов Пример. Разложить функцию по степеням . Решение. . , . Тогда 18.4.3. Остаточный член ряда Тейлора Теорема. Если во всех точках некоторого ин-тервала, содержащего точку , имеет производную , то для всякой точки, принадлежащей интервалу, остаточный член равен где Частные случаи 1) Это – формула Лагранжа. 2) или Это линейная аппроксимация. Так как – неизвестна, то можно только оценить. Пусть в области сходимости Тогда для всякого , принадлежащего области сходимости, Если исследование остаточного члена представляет затруднения, то: 1) разлагаем функцию в ряд Тейлора, 2) находим интервал сходимости, 3) доказываем, что для всякого , принадлежащего интервалу сходимости. 18.4.4. Разложение функций в ряды Тейлора и Маклорена Разложение функций проводится в два этапа: 1) Вычисляются производные . Предполагается, что для -й производной можно получить общую формулу, зависящую от и значения порядка производной. Составляется ряд Тейлора. 2) Находится интервал, где ряд Тейлора сходится, т. е. остаточный член ряда Теорема. Если в некоторой окрестности точки абсолютные величины всех производных функции ограничены одним и тем же числом, то функция в этом интервале разлагается в ряд Тейлора. Особенно часто используют разложение при : Этот ряд называется рядом Маклорена. 18.4.4.1. Разложение функции в ряд Маклорена В частности, для 18.4.4.2. Разложение функции в ряд Маклорена 18.4.4.3. Разложение функции в ряд Маклорена Замечание. Нечетные функции раскладываются по не-четным степеням. Четные функции раскладываются по четным степеням. 18.4.4.4. Биномиальный ряд Если – целое и больше нуля, то получим формулу бинома Ньютона. Для Для разных могут входить в область сходимости одна или обе границы. 18.4.4.5. Разложение функции в ряд Маклорена При ряд сходится условно. Поэтому окончательно Пример: Ряд сходится, но очень плохо. Из теоремы Лейбница видно, что для точности необходимо членов ряда. Позже покажем, как улучшить сходимость. 18.4.4.6. Разложение функции в ряд Маклорена . 18.4.4.7. Примеры 1) . 2) 18.4.5. Приближенное вычисление значений функций Пусть функция представима рядом Тейлора в окрестности точки Тогда точное значение функции можно вычислить с помощью ряда Тейлора, а приближенное значение – по его частичной сумме. Ошибку можно оценить по остатку ряда Рассмотрим на примерах. Примеры: 1. В интервале По теореме об оценке остаточного члена ряда При Если , то 2. 3. . 18.4.6. Интегрирование функций Пусть нужно найти Пусть известно разложение функции в ряд Тейлора и пределы интегрирования лежат в интервале сходимости ряда. Тогда можно интегрировать почленно. В итоге получим ряд для функции , имеющий тот же интервал сходимости, что и исходный. Если интеграл выражается через элементарную функцию, то получим ее разложение в ряд Тейлора. Если функция в элементарных функциях не выражается, то найдем разложение неэлементарной функции в ряд Тейлора. Зная оценку для подынтегральной функции, можно получить оценку для . Пример: Интегральный синус представить степенным рядом. Этот ряд не сходится ни к какой элементарной функции. 19. РЯД ФУРЬЕ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ 19.1. Ряд Фурье в действительной форме Рядом Фурье периодической функции с периодом , заданной на интервале , называется ряд , где , . Теорема Дирихле. Пусть функция на интервале кусочно монотонна и является непрерывной за исключением конечного числа точек разрыва I рода (т. е. удовлетворяет условиям Дирихле). Тогда ряд Фурье этой функции сходится в каждой точке интервала и сумма ... 1) во всех точках непрерывности функции , лежащих внутри интервала ; 2) , где – точка разрыва I рода; 3) при . Если функция задана на интервале , то ее ряд Фурье , где , . Если – четная функция, ее ряд Фурье , где , Если – нечетная функция, ее ряд Фурье , где . Если функция задана на отрезке , то для простоты разложения ее в ряд Фурье достаточно доопределить ее на интервале четным или нечетным образом. 19.2. Ряд Фурье в комплексной форме Если функция задана на интервале и удовлетворяет условиям Дирихле, то ее ряд Фурье в комплексной форме записывается в виде , где . 19.3. Интеграл Фурье Если функция удовлетворяет условиям Дирихле на любом конечном отрезке оси и абсолютно интегрируема вдоль всей оси ( – сходится), то для нее справедлива интегральная формула Фурье: . Комплексная форма интеграла Фурье . Для четной функции интеграл Фурье , для нечетной: . Преобразование Фурье (прямое), (обратное). Косинус-преобразование Фурье (для четных функций) (прямое), (обратное). Синус-преобразование Фурье (для нечетных функций) (прямое), (обратное). 20. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО (ФКП) 143_Бутырин_10 Определение. Функцией – оригиналом называется любая комплекснозначная функция f(t) действительного аргумента , удовлетворяющая условиям: называется преобразованием Лапласа для f(t) или ее изображением. Соответствие оригинала и изображения принято обозначать так: f(t) ( F(p); ОГЛАВЛЕНИЕ 4.1. Понятие функции. Способы задания 35 4.2. Основные характеристики поведения функций. Начальный этап исследования функции 37 4.3. Сложная функция. Обратная функция 38 4.5. Классификация функций 40 4.6. Параметрическое задание функций 40 12.1. Объем цилиндрического тела. Двойной интеграл 116 12.2. Замена переменных в двойном интеграле 122 12.3. Двойной интеграл в полярных координатах 122 12.4. Приложения двойных интегралов 124 13. ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 125 13.1. Масса неоднородного тела. Тройной интеграл 125 13.2. Вычисление тройных интегралов 127 13.3. Приложения тройных интегралов 129 14.1. Криволинейный интеграл по длине (1-го рода) 131 14.2. Криволинейный интеграл по координатам (2-го рода) 135 14.3. Криволинейный интеграл по замкнутому контуру 138 14.4. Формула Грина 139 14.5. Условие независимости криволинейного интеграла 2-го рода от пути интегрирования 139 14.6. Криволинейные интегралы 2-го рода по пространственным линиям 140 14.7. Связь криволинейных интегралов 1-го и 2-го рода 141 15. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 142 16. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ 144 16.1.Скалярное поле 144 16.2. Векторное поле 146 17. Обыкновенные дифференциальные уравнения 151 17.1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка 151 17.1.1. Общие понятия. Теорема существования 151 17.1.2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными 154 17.1.3. Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям 156 17.1.4. Однородные дифференциальные уравнения 157 17.1.5. Дифференциальные уравнения, приводящиеся к однородным 159 17.1.6. Линейные дифференциальные уравнения. Уравнение Бернулли 160 17.1.7 Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах 164 17.2. Дифференциальные уравнения высших порядков 167 17.2.1. Дифференциальные уравнения 2-го порядка 167 17.2.2. Частные случаи дифференциальных уравнений 2-го порядка, допускающие понижение порядка 170 17.2.3. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка 171 17.2.4. Дифференциальные уравнения высших порядков 172 17.3. Линейные дифференциальные уравнения 173 17.3.1. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка 173 17.3.2. Однородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка 174 17.3.3. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка 175 17.3.4. Однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами 175 17.3.5. Неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами 177 17.3.6. Метод вариации произвольных постоянных 184 17.3.7. Линейные дифференциальные уравнения -го порядка 186 17.3.8. Линейные дифференциальные уравнения -го порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида 189 17.4. Системы дифференциальных уравнений 191 17.4.1. Общие определения. Нормальные системы дифференциальных уравнений 191 17.4.2. Системы линейных дифференциальных уравнений 194 17.4.3. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами 196 17.4.4. Случай кратных корней характеристического уравнения 201 17.4.5. Матричная форма записи однородной системы дифференциальных уравнений 204 18. Ряды 206 18.1. Числовые ряды 206 18.1.1. Определение ряда и его суммы 206 18.1.2. Необходимый признак сходимости ряда. Гармонический ряд 208 18.1.3. Ряды с положительными членами. Достаточные признаки сходимости ряда 210 18.1.3.1. Признаки сравнения 210 18.1.3.2. Признак д’Аламбера 212 18.1.3.3. Радикальный признак Коши 212 18.1.3.4. Интегральный признак Коши 213 18.1.3.5. Степенной признак 215 18.1.3.6. Признак Абеля 215 18.1.3.7. Признак Дирихле 215 18.1.3.8. Признак Раабе 215 18.1.3.9. Признак Гаусса 215 18.1.4. Знакопеременные ряды 216 18.1.5. Знакочередующиеся ряды 217 18.1.6. Некоторые ряды 218 18.2. Функциональные ряды 218 18.2.1. Общие определения 218 18.2.2. Равномерная сходимость функциональных рядов 219 18.2.3. Свойства равномерно сходящихся рядов 220 18.3. Степенные ряды 222 18.3.1. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости 222 18.3.2. Свойства степенных рядов 226 18.4. Разложение функций в степенные ряды 228 18.4.1. Ряд Тейлора 228 18.4.2. Условие разложимости функций в ряд Тейлора 229 18.4.3. Остаточный член ряда Тейлора 230 18.4.4. Разложение функций в ряды Тейлора и Маклорена 232 18.4.4.1. Разложение функции в ряд Маклорена 232 18.4.4.2. Разложение функции в ряд Маклорена 233 18.4.4.3. Разложение функции в ряд Маклорена 233 18.4.4.4. Биномиальный ряд 233 18.4.4.5. Разложение функции в ряд Маклорена 234 18.4.4.6. Разложение функции в ряд Маклорена 234 18.4.4.7. Примеры 234 18.4.5. Приближенное вычисление значений функций 235 18.4.6. Интегрирование функций 237 19. РЯД ФУРЬЕ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ 238 19.1. Ряд Фурье в действительной форме 238 19.2. Ряд Фурье в комплексной форме 240 19.3 Интеграл Фурье 241 20. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО (ФКП) 242