Analyse mathematique

Description

Un grand merci à Henri Leveque pour le scan original. Traduit du russe par Djilali Embarek Ce manuel est destiné aux étudiants de l’enseignement supérieur. Toutes les questions au programme d’analyse des écoles d’ingé­nieurs sont étudiées. Ce manuel est le fruit de plusieurs années d’enseignement à l'Uni­versité d’Etat de Moscou, à l’Institut des ingénieurs physiciens de Moscou (MIFI) et à l’Institut physico-technique de Moscou (MFTI). Il prolonge et développe les thèses méthodologiques de l’ouvrage de B. Rojdestvenski Cours d'analyse mathématique (M., Xaouka, 1972, en russe). Les auteurs ont opté pour un exposé concis susceptible de toucher un large éventail de lecteurs. La conception du cours, le caractère de l'exposé et l’agencement des sujets rompent avec la tradition. Ainsi la théorie des suites et la théorie des séries sont développées simultanément. Les notions de dérivées et d'intégrales indéfinie et définie sont examinées aussi simultanément et leurs propriétés font l'objet d’une étude globale. Deux types d'intégrales définies sont étudiés: l’intégrale de Newton (qui est égale à l’accroissement d'une primitive) et l’intégrale de Riemann. Quelques approches méthodo­logiques nouvelles sont utilisées pour étudier les fonctions de plusieurs variables. Ces accrocs à la tradition permettent primo d'exposer la matière avec élégance et sans répétitions rébarbatives, secundo de signaler à l'avance aux étudiants les éléments d’analyse qui leur seront néces­saires dans l’étude de la physique et des disciplines de l’ingénieur. Enfin la démarche adoptée abrège sensiblement le volume de l’ou­vrage. , Au cours de la préparation de cet ouvrage les auteurs ont eu d’importantes discussions avec leurs collègues et amis sur divers problèmes d’analyse mathématique. Ils tiennent à remercier en premier lieu les collaborateurs des départements de physique mathé­matique appliquée et de mathématiques supérieures du MIFI, du département de mathématiques supérieures du MFTI et de l'Institut Keldych de mathématiques appliquées. Les auteurs sont particulièrement reconnaissants au professeur D. Vassilkov pour ses multiples conseils et son importante contribu­tion à la préparation de cet ouvrage. TABLE DES MATIÈRES Avant-propos.......................... 9 Chapitre premier. ÉLÉMENTS DE THÉORIE DES ENSEMBLES . . - - - 10 1. Notion d'ensemble. Opérations ensemblistes élémentaires . . 10 2. Applications d'ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3. Ensembles dénombrables . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Chapitre 2. NOMBRES RÉELLES ET COMPLEXES. ESPACES MÉTRIQUES . . 16 1. Notion de nombre réel.................. 16 2. Opérations arithmétiques sur les nombres réels . . . . . . 21 3. Parties bornées de l'ensemble des nombres réels . . . . . 21 4. Complétude de l‘ensemble des nombres réels . . . . . . . 24 5. Nombres complexes................... 25 6. Espaces métriques.................... 27 Chapitre 3- SUITES ET SÉRIES NUMÉRIQUES . . . . . . . . . . . . 32 1. Suites convergentes................... 32 2. Propriétés élémentaires des séries convergentes . . . . . . 34 3. Suites infiniment petites. Suites convergeant vers ±∞ . . . 38 4. Suites. Théorème de Bolzano-Weierstrass . . . . . . . . . 39 5. Suites fondamentales. Critère de Cauchy . . . . . . . . . 42 6.5éries numériques.................... 43 Chapitre 4- LIMITE D'UNE FONCTION. FONCTIONS CONTINUES ........... 63 1. Fonctions d'une variable réelle . . . . . . . . . . . . . . 63 2.Limite d'une fonction.................. 65 3.Fonctions continues................... 71 4. Propriétés des fonctions continues sur un intervalle fermé 75 5.Fonctions monotones................... 79 6. Fonctions élémentaires et leur continuité . . . . . . . . . 82 7. Calcul de certaines limites . . . . . . . . . . . . . . . 87 8. Comparaison des fonctions du point de vue du passage à la limite.... 90 9. Suites et séries de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . 92 Chapitre 5. DÉRIVATION ET INTÉGRATION DE FONCTIONS D'UNE SEULE VARIABLE...........................104 1. Notion de dérivée...................104 2. Signification mécanique et géométrique de la dérivée . . . 106 3. Règles de dérivation.................. 107 4. Dérivation des fonctions élémentaires . . . . . . . . . . 111 5. Différentielle d'une fonction . . . . . . . . . . . . . . . 114 6. Théorèmes de la moyenne pour les fonctions dérivantes . . . 116 7. Primitive et intégrale indéfinie . . . . . . . . . . . . . 121 8. 1ntégrale définie de Newton . . . . . . . . . . . . . . 125 9. Théorèmes de la moyenne pour l'intégrale définie de Newton 129 10. Dérivées d‘ordre quelconque . . . . . . . . . . . . . . . 132 11. Différentielles d'ordre quelconque . . . . . . . . . . . . 134 12. Dérivation et intégration de suites et de séries de fonctions 137 Chapitre 6. FORMULE DE TAYLOR. SÉRIE DE TAYLOR. SÉRIES ENTIÈRES 142 1. Formule de Taylor.................... 142 2. Série de Taylor. Séries de Taylor pour certaines fonctions élémentaires......................145 3. Séries entières à termes réels . . . . . . . . . . . . . . 149 4. Séries entières à termes complexes . . . . . . . . . . . . 154 Chapitre 7. APPLICATION DU CALCUL DIFFÉRENTIEL À LA DETERMINAI- NATION DES LIMITES ET À L'ÉTUDE DES FONCTIONS ............. 161 1. Règle de l'Hospital................... 161 2. Calcul des limites (le fonctions avec la formule de Taylor . . 166 3. Étude des fonctions...................167 Chapitre 8. INTÉGRALE DÉFlNlE DE RIEMANN . . . . . . . . . . 176 1. Définition de l'intégrale de Riemann. Conditions nécessaires et suffisantes d'intégrabilité . . . . . . . . . . . . . . . 176 2. Propriétés élémentaires de l'intégrale de Riemann . . . . ._ 185 3. Classes de fonctions intégrables—Riemann . . . . . . . . . 191 4. Théorèmes de la moyenne pour l'intégrale de Riemann . . . 193 5. Propriétés de l'intégrale de Riemann . . . . . . . . . . . 195 6. Notion de primitive généralisée . . . . . . . . . . . . . . 201 7. 1ntégralesimpropres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 8. Calcul approché des intégrales . . . . . . . . . . . . . . 215 9. Calcul des longueurs, aires et volumes . . . . . . . . . . 219 Chapitre 9. TECHNIQUES D’INTÉGRATION . . . . . . . . . . . . . 223 1. Recherche d'une primitive . . . . . . . . . . . . . . . . 22.3 2. Intégration des fonctions rationnelles . . . . . . . . . . . 224 3. Intégrales se ramenant à des intégrales de fonctions rationnelles 236 4. Intégration des fonctions complexes d'une variable réelle . . . 239 Chapitre 10. FONCTIONS VECTORIELLES D'UNE VARIABLE RÉELLE. COURBES DANS LE PLAN ET DANS L'ESPACE . . . . . . . . . . 243 1. Fonctions vectorielles d‘une variable réelle . . . . . . . . 243 2. Courbes dans l'espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 Chapitre 11. FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES . . . . . . . . 265 1. Suites de points convergentes dans l'espace euclidien . . . . 265 2. Limite d'une fonction de plusieurs variables . . . . . . . 267 3. Fonctions continues de plusieurs variables . . . . . . . . 272 4. Dérivation des fonctions de plusieurs variables . . . . . . 276 5. Dérivées et différentielles d'ordre quelconque . . . . . . . 287 6. Formule de Taylor pour fonctions de plusieurs variables . . . 291 7. Extrémum local de fonctions de plusieurs variables . . . . 293 Chapitre 12. FONCTIONS VECTORIELLES DE PLUSIEURS VARIABLES. INTÉGRALES CURVILIGNES . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 1. Fonctions vectorielles de plusieurs variables . . . . . . . 300 2. Intégrales curvilignes dans l'espace . . . . . . . . . . . . 304 Chapitre 13. FONCTIONS IMPLICITES. EXTREMUM LIE . . . . . . . 308 1. Théorèmes fondamentaux sur les fonctions implicites . . . 308 2. Applications dérivables et leurs jacobiens . . . . . . . . . 3l8 3. Dépendance des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . 321 4. Résolution approchée des équations . . . . . . . . . . . . 325 5. Extremum lié......................332 Chapitre 14. INTÉGRALES MULTIPLES ET LEURS APPLICATIONS . . . 336 1. 1ntégrales doubles...................336 2. Formule de Green. Conditions de potentialité d'un champ de vecteurs sur le plan..................... 348 3. Formule de changement des variables dans une intégrale double........................355 4. Intégrales dépendant d'un paramètre . . . . . . . . . . . 358 5. Intégrales doubles impropres . . . . . . . . . . . . . . 368 6. 5urface dans l'espace.................. 372 7. 1ntégralesdesurface..................384 8. Formule de Stokes. Conditions de potentialité d'un champ de vecteurs dans l'espace................ 388 9. Intégrales triples....................393 10. Formule d'Ostrogradski . . . . . . . . . . . . . . . . . 399 Chapitre 15. SÉRIES DE FOURIER. INTÉGRALE DE FOURIER . . . . . 404 1. Séries trigonométriques de Fourier . . . . . . . . . . . . 404 2. Séries de Fourier suivant un système orthogonal de fonctions 414 3. Convergence en moyenne................. 418 4. Conditions suffisantes de convergence uniforme d'une série trigonométrique de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . 422 5. Séries trigonométriques sous forme complexe ............423 6. 1ntégrale de Fourier...................425 Chapitre 16. INTÉGRALE DE LEBESGUE ......................... 430 1. Ensembles de mesure nulle........................... 430 2. Suites de fonctions en escalier ......................... 432 3. Notion d‘intégrale de Lebesgue .......................... 435 4. Fonctions mesurables et ensembles mesurables............. 440 5. L‘espace L:([a,b])................... 442 Chapitre 17. ÉLÉMENTS D'ANALYSE TENSORIELLE ...............445 1. Tenseurs sur une surface................. 445 2. Tenseurs sur une variété différentiable ................ 453 3. Espaces riemanniens. Dérivation covariante ............. 457 Index alphabétique des matières ............................469