Лекции по линейной алгебре и аналитической геометрии

Description

Учебное пособие. — Казань: Казанский государственный университет, 2014. — 352 с. — ISBN 978-5-00019-193-4.Излагаются все основные вопросы, включаемые в программу университетского курса линейной алгебры и аналитической геометрии.Книга рассчитана на студентов младших курсов, обучающихся по направлениям прикладной математики и информатики.СодержаниеПредисловие Комплексные числа Комплексные числа, алгебраические операции над комплексными числамиОперация сопряжения, модуль комплексного числаТригонометрическая форма комплексного числа Извлечение корня из комплексного числаМногочленыАлгебраические операции над многочленамиКорни многочленов Многочлены с действительными коэффициентами Определители второго и третьего порядков Определители второго порядка Определители третьего порядка Свойства определителей третьего порядкаВведение в аналитическую геометриюВекторы. Алгебраические операции над векторами Скалярное произведение векторов Векторное произведение Смешанное произведение векторовПримеры задач, решаемых методами векторной алгебрыРазличные формы уравнения прямой на плоскостиЗадачи о взаимном расположении прямых и точек на плоскостиРазличные формы уравнения плоскости Уравнения прямой в пространствеЗадачи о взаимном расположении точек, прямых и плоскостейСистемы линейных уравнений, матрицы, определители ПерестановкиОпределители произвольного порядка Основные свойства определителей Примеры вычисления определителей Крамеровские системы линейных уравненийМатрицы. Операции над матрицами Обратная матрицаМетод Гаусса решения систем линейных уравнений Определитель произведения матриц Некоторые классы матрицБлочные матрицыЛинейные пространстваПространства Rn и CnОбщие линейные пространства Линейная зависимость векторов Линейно независимые системы векторовРанг системы векторовКонечномерные линейные пространства. Базисы Замена базиса Евклидовы пространства Евклидовы пространства Rn и Cn Общие евклидовы пространства Неравенство Коши — БуняковскогоМатрица ГрамаОртогональные системы векторовПроцесс ортогонализации Грама — ШмидтаРазложение вектора по базису евклидова пространства Вычисление скалярного произведенияВзаимный базисПримеры ортогональных базисов ПодпространстваСумма и пересечение подпространств Размерность суммы подпространств Ортогональная проекция вектора на подпространствоОртогональное разложение евклидова пространства Линейные операторы и матрицы Линейные операторы. Действия над операторамиОбратный оператор Оператор разложения по базису Изоморфизм конечномерных пространствОбраз оператора. Ядро оператораМатрица оператора Матрица обратного оператораЛинейное пространство операторовРанг матрицы Элементарный метод вычисления ранга матрицыЛинейные уравнения Общее решение линейного уравнения Исследование разрешимости систем линейных алгебраических уравненийПостроение общего решения системы линейных алгебраических уравненийСтроение линейного оператора Инвариантные подпространстваСобственные числа и собственные векторы Характеристический полином и характеристические числа Признак линейной независимости собственных векторов Геометрическая и алгебраическая кратности собственных чиселОператоры простой структурыИнварианты оператора Инвариантные функции операторного аргументаИнвариантные подпространства оператора в вещественном пространствеПриведение матрицы оператора к треугольной формеНильпотентный оператор Приведение матрицы оператора к жордановой форме Корневые и циклические подпространства Теорема Кэли — ГамильтонаСходящиеся матрицыОператоры в евклидовом пространствеЛинейные функционалыСопряженный оператор Вычисление матрицы оператора в евклидовом пространстве Линейные уравнения в евклидовом пространствеПсевдорешение линейного уравненияСамосопряженный и косоэрмитов операторы Неотрицательный и положительно определенный операторы Унитарный операторНормальный операторНекоторые свойства собственных чисел самосопряженного оператораПрименения вариационного описания собственных чисел Корень из самосопряженного неотрицательного оператора Обобщенная проблема собственных значений Сингулярные базисы и сингулярные числа оператора Полярное разложение оператора Евклидово пространство операторов Операторы в вещественном евклидовом пространствеОбщие сведенияВещественное евклидово пространство операторовСтруктура нормального оператораСтруктура ортогонального оператораМатрицы вращения и отражения Квадратичные формы и квадратичные функции Канонический вид квадратичной формыЗакон инерции квадратичных формПоложительно определенные квадратичные формыКвадратичная функция и ее инвариантыПриведенная форма квадратичной функцииКривые второго порядкаПриведение уравнения кривой к простейшему виду Геометрические свойства кривых второго порядка Поверхности второго порядкаПриведение уравнения поверхности к простейшему виду Геометрические свойства поверхностей второго порядкаГиперповерхности второго порядка в пространстве Rn и их классификация Итерационные методы Итерационные методы решения систем линейных уравнений Элементы общей теории итерационных методов Метод Якоби решения задач на собственные значенияИсследование сходимости метода ЯкобиНормы векторов и матрицОсновные неравенства Нормы на пространстве Cn Нормы на пространстве матриц Элементы теории возмущенийНеотрицательные матрицы Простейшие свойства неотрицательных матриц Положительные матрицыНеотрицательные матрицы Неразложимые неотрицательные матрицы Предметный указатель Литература