Математика, компьютер, прогноз погоды и другие сценарии математической физики

Description

Описаны аналитические и численные методы исследования уравнений и систем в частных производных: гиперболических, параболических, эллиптических и смешанного типа, линейных и нелинейных. Список этих методов и приемов велик, и они должны дополнять друг друга: интегральные преобразования, вариационное исчисление, специальные функции, асимптотические методы, сплайны, рациональные аппроксимации. Книга адресована читателю, который использует и аналитические, и численные, компьютерные методы в своих исследованиях. Заметное место отведено подготовке исходной информации для решения задачи Коши и смешанной краевой задачи, где используются и вероятностные, и вариационные подходы. Необходимый элемент – исследование задач и алгоритмов на устойчивость к возмущениям малой амплитуды в начальных и краевых условиях – проверка корректности задачи. Первая часть книги ориентирована на студентов младших курсов и доступна даже продвинутым физматшкольникам. Вторая составляет углубленный курс и предназначена старшекурсникам, аспирантам и научным сотрудникам. Изложение сопровождается большим количеством задач, для решения которых иногда потребуется компьютер. Не решая задачи, овладеть излагаемыми приемами нельзя. Задачи различной трудности, некоторые могут служить темами курсовых работ. Чаще других в качестве примеров в книге используются метеорологические проблемы, однако эти методы и приемы, как правило, пригодны там, где применяется математика. Издание осуществлено при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований по проекту 05-05-78040 Предисловие к первому изданию Авторское предисловие к первому изданию (1991 г.) Авторское предисловие ко второму изданию — почти двадцать лет спустя Глава 1. Информация и интерполяция § 1.1. Поверхностное описание § 1.2. Зачем нужно столько чисел? § 1.3. Информация, которая приходит сверху § 1.4. Активные измерения § 1.5. Синоптик помогает компьютеру § 1.6. Всякое действие рождает ошибки. Проблема контроля § 1.7. Интерполяционный многочлен § 1.8. Наилучшее чебышёвское приближение § 1.9. Интерполяция сплайнами и прогонка § 1.10. Интерполяция, оптимальная в смысле теории вероятностей § 1.11. Решение линейных алгебраических уравнений § 1.12. Методы извлечения квадратного корня. Эволюция метода от Вавилонского царства до наших дней § 1.13. Корректность, устойчивость, непрерывность и т. п. § 1.14. Ветер на полюсе и локальные координаты Глава 2. Уравнения, описывающие эволюцию атмосферы § 2.1. Законы движения материальной точки и сплошной среды § 2.2. Закон сохранения вещества и уравнение неразрывности § 2.3. Закон изменения импульса и уравнения движения § 2.4. Выполняется ли закон Архимеда? Это зависит от масштаба § 2.5. Дискретизация уравнения гидростатики для целей контроля § 2.6. Закон сохранения энергии и уравнение притока тепла § 2.7. Условие потенциальности, дифференциальные формы и сферы с n ручками § 2.8. Уравнения мелкой воды и солитоны § 2.9. Стационарные решения и вихри: в атмосфере и в трубах § 2.10. Устойчивость по Ляпунову для дифференциальных и конечно-разностных уравнений § 2.11. Устойчивость по Ляпунову и энергетический метод § 2.12. Пределы предсказуемости § 2.13. Вариационно-статистические подходы к усвоению информации Глава 3. Как решать прогностические уравнения § 3.1. Дискретизация задачи § 3.2. Первая попытка § 3.3. Примеры разностных и спектральных схем § 3.4. Аппроксимация, устойчивость, сходимость § 3.5. Граничные условия § 3.6. Атмосферные фронты и аппроксимация разрывных решений § 3.7. Заключение к первой части Глава 4. Более сложные задачи и усовершенствованные методы § 4.1. Характеристики § 4.2. Обобщенные функции или распределения § 4.3. Ряд Фурье и интегральные преобразования § 4.4. Вариационное исчисление: уравнение Эйлера и условия трансверсальности § 4.5. Условный экстремум и оптимальны е траектории § 4.6. Операционное исчисление § 4.7. Асимптотические методы § 4.8. Теория возмущений матриц и операторов §4.9. Положительная определенность и теория возмущений. Как оценивать корреляционные функции? §4.10. Изотропны ли метеорологические поля? §4.11. Спектры: внутри, снаружи и оптимизация §4.12. Гипергеометрическая функция и периодические колебания в атмосфере Земли §4.13. Информация со спутника и уравнения Фредгольма §4.14. Краевая задача для конечно-разностных уравнений: аппроксимация, блуждания, игры §4.15. Сюрпризы граничных условий §4.16. Граничные условия для разностных уравнений и аппроксимация Паде § 4.17. Компактная схема 4-го порядка на сфере S2 для вычисления скорости по вихрю и дивергенции § 4.18. Устойчивые и неустойчивые течения жидкости § 4.19. Указания к нескольким трудны м контрольным вопросам Список литературы Предметный указатель