An Introduction to Game Theory

Description

Table of Contents 1 Introduction 5 1.1 What is Game Theory? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Our Methodology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 Strategic Form Games with Complete Information 21 2.1 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3 Strategic Form Solution Concepts 29 3.1 Dominant Strategy Equilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.2 Dominance Solvability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.3 Nash Equilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.4 Nash Equilibrium and Dominant/Dominated Actions . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.5 Difficulties with Nash Equilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.5.1 A Nash equilibrium may involve a weakly dominated action by some players. 48 4 Strategic Form Games: Applications 55 5 Mixed Strategy Equilibrium 71 5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5.2 Mixed Strategies and Expected Payoffs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 5.3 Mixed Strategy Equilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 5.4 Dominated Actions and Mixed Strategies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 6 Bayesian Games 79 6.1 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 6.2 Bayesian Equilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 6.3 Some Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 2TABLE OF CONTENTS 3 6.3.1 Large Battle of the Sexes with incomplete information . . . . . . . . . . . 81 6.3.2 Cournot Duopoly with incomplete information. . . . . . . . . . . . . . . . 83 7 Extensive Form Games with Perfect Information 85 7.1 Extensive Form Games . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 7.1.1 Game Trees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 7.1.2 Strategies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 7.2 Backward Induction Equilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 7.2.1 Commitment and Mover Advantages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 7.3 Game Trees: A More Formal Treatment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 7.4 Strategic Form of an Extensive Form Game . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 7.5 Extensive Form Games with Imperfect Information . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 7.5.1 Subgames and Subgame Perfect Equilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . 96 8 Extensive Form Games: Applications 99 8.1 Bargaining . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 8.1.1 Ultimatum Bargaining . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 8.1.2 Alternating Offers Bargaining . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 8.1.3 Unique Subgame Perfect Equilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 8.1.4 Properties of the Equilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 9 Repeated Games 107 9.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 9.2 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 9.3 Equilibria of Infinitely Repeated Games . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 10 Auctions 117 10.1 Independent Private Values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 10.1.1 Second Price Auctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 10.1.2 First Price Auctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 10.1.3 All-Pay Auctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 10.2 Revenue Equivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 10.3 Common Values and The Winner’s Curse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 10.4 Auction Design . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 10.4.1 Need for a Reserve Price . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 10.4.2 Common Values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 10.4.3 Risk-Averse Bidders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1274 TABLE OF CONTENTS 10.4.4 Practical Concerns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 11 Extensive Form Games with Incomplete Information 131 11.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 11.2 Perfect Bayesian Equilibrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 11.3 Signalling Games . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137