Funktionentheorie - Vorlesungsmitschrift

Description

Rechnen und Differenzieren in C Komplexe Zahlen Topologie und Geometrie in C Bekannte Funktionentypen Polynome. Rationale Funktionen. Potenzreihen. Stetigkeit und Differenzierbarkeit Die Definitionen Vergleich komplexer und reeller Differenzierbarkeit Elementares zu Funktionen in C Potenzreihen und Differenzieren Inverse Funktion und Graphische Darstellung Einige elementare Funktionen Gebrochen-lineare Funktionen Gebrochen-lineare Funktionen auf C94 Eigenschaften von gebrochen-linearen Funktionen Folgen, Fraktale, Kurven und Integrale Nullstellensuche mit Newton und anderen Folgen Iterative Folgen Kurven Kurvenintegrale Kurvenintegrale und Cauchy Stammfunktion und geschlossene Kurven Der Integralsatz von Cauchy Residuum Singuläre Stellen Beispiele zur Funktion und Stammfunktion Die Integralformel von Cauchy Holomorphe Funktionen haben holomorphe Ableitungen Holomorph mit Ausnahme einer Singularität Pole und wesentliche Singularitäten Analytische Funktionen Holomorphe Funktionen und Potenzreihen Nullstellen eines Polynoms Das Maximum-Prinzip Eigenschaften holomorpher Funktionen Ganze Funktionen Äquivalente Aussagen Verbindung mit reellen Funktionen Intermezzo Harmonische Funktionen in 2 Dimensionen Die stationäre Wärmeleitungsgleichung Folgen der Holomorphie Subharmonische Funktionen Positive harmonische Funktionen Potentialströmungen Ein Modell zu Potentialströmungen Potentialströme mit Randbedingungen Beispiele von Potentialströmungen Joukowski Biholomorphe Abbildungen Konform und biholomorph Kreisscheibe zu Kreisscheibe Riemannscher Abbildungssatz Konstruktion biholomorpher Abbildungen Von der Halbebene zum Sektor Von der Halbebene zu einem Polygon mit drei Kanten Biholomorph bei mehrfachem Zusammenhang Funktionen und Polstellen Meromorphe Funktionen Nullstellen, Pole und ein Kurvenintegral Partialbruchentwicklung Beispiele einiger Partialbruchentwicklungen Funktionen und Nullstellen Ganze Funktionen mit bestimmten Nullstellen Unendliche Produkte und Reihen Der Satz von Weierstraß Einige Nullstellenentwicklungen Spezielle Funktionen Die Gamma-Funktion Die Riemannsche zeta-Funktion Die Weierstraßsche p-Funktionen Konvergenz und Folgen Gleichmäßige Konvergenz Beweis des Riemannschen Abbildungssatzes Schwarz und Christoffel