Álgebra lineal : una introducción moderna

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Cover Legal Contenido Prefacio Para el profesor Para el estudiante 1 Vectores 1.0 Introducción: El juego de la pista de carreras 1.1 Geometría y álgebra de vectores Vectores en el plano Nuevos vectores a partir de otros dados Vectores en R3 Vectores en Rn Combinaciones lineales y coordenadas Vectores binarios y aritmética modular Ejercicios 1.1 1.2 Longitud y ángulo: el producto punto El producto punto Longitud Distancia Ángulos Vectores ortogonales Proyecciones Ejercicios 1.2 Exploración Vectores y geometría 1.3 Rectas y planos Rectas en R2 y R3 Planos en R3 Ejercicios 1.3 Exploración El producto cruz Proyecto de ensayo Los orígenes del producto punto y el producto cruz 1.4 Aplicaciones Vectores fuerza Ejercicios 1.4 Repaso del capítulo Definiciones y conceptos clave Definiciones y conceptos clave Preguntas de repaso 2 Sistemas de ecuaciones lineales 2.0 Introducción: trivialidad 2.1 Introducción a los sistemas de ecuaciones lineales Resolución de un sistema de ecuaciones lineales Ejercicios 2.1 2.2 Métodos directos para resolver sistemas lineales Matrices y forma escalonada Operaciones elementales con filas Eliminación gaussiana Eliminación de Gauss-Jordan Sistemas homogéneos Sistemas lineales sobre Zp Ejercicios 2.2 Proyecto de ensayo Una historia de la eliminación gaussiana Exploración Mentiras que me dijo mi computadora Pivoteo parcial Operaciones de conteo: introducción al análisis de algoritmos 2.3 Conjuntos generadores e independencia lineal Conjuntos generadores de vectores Independencia lineal Ejercicios 2.3 2.4 Aplicaciones Asignación de recursos Balanceo de ecuaciones químicas Análisis de redes Redes eléctricas Modelos económicos lineales Juegos lineales finitos Ejercicios 2.4 Viñeta El sistema de posicionamiento global 2.5 Métodos iterativos para resolver sistemas lineales Ejercicios 2.5 Repaso del capítulo Definiciones y conceptos claves Preguntas de repaso 3 Matrices 3.0 Introducción: matrices en acción 3.1 Operaciones con matrices Suma de matrices y multiplicación por un escalar Multiplicación de matrices Matrices particionadas Potencias de matrices La transpuesta de una matriz Ejercicios 3.1 3.2 Álgebra matricial Propiedades de la multiplicación matricial Propiedades de la transpuesta Ejercicios 3.2 3.3 La inversa de una matriz Propiedades de las matrices invertibles Matrices elementales El teorema fundamental de las matrices invertibles El método de Gauss-Jordan para calcular la inversa Ejercicios 3.3 3.4 La factorización LU Una forma sencilla de encontrar factorizaciones LU La factorización PT LU Consideraciones de cálculo Ejercicios 3.4 3.5 Subespacios, bases, dimensión y rango Subespacios asociados con matrices Bases Dimensión y rango Coordenadas Ejercicios 3.5 3.6 Introducción a las transformaciones lineales Transformaciones lineales Nuevas transformaciones lineales a partir de otras anteriores Inversas de transformaciones lineales Asociatividad Ejercicios 3.6 Vignette Robótica 3.7 Aplicaciones Cadenas de Markov Modelos económicos lineales Crecimiento poblacional Grafos y digrafos Ejercicios 3.7 Repaso del capítulo Definiciones y conceptos clave Preguntas de repaso 4 Eigenvalores y eigenvectores 4.0 Introducción: un sistema dinámico de grafos 4.1 Introducción a eigenvalores y eigenvectores Ejercicios 4.1 4.2 Determinantes Determinantes de matrices de n 3 n Propiedades de los determinantes Determinantes de matrices elementales Determinantes y operaciones matriciales Regla de Cramer y la adjunta Demostración del teorema de expansión de Laplace Breve historia de los determinantes Ejercicios 4.2 Proyecto de ensayo ¿Qué apareció primero: la matriz o el determinante? Viñeta Método de condensación de Lewis Carroll Exploración Aplicaciones geométricas de los determinantes El producto cruz Área y volumen Rectas y planos Ajuste de curvas 4.3 Eigenvalores y eigenvectores de matrices de n x n Ejercicios 4.3 4.4 Semejanza y diagonalización Matrices semejantes Diagonalización Ejercicios 4.4 4.5 Métodos iterativos para calcular eigenvalores El método de potencia El método de potencia ajustado y el método de potencia inverso El método de potencia inverso ajustado Teorema de Gerschgorin Ejercicios 4.5 4.6 Aplicaciones y el teorema de Perron-Frobenius Cadenas de Markov Crecimiento poblacional El Teorema de Perron-Frobenius Relaciones de recurrencia lineal Comentarios Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales Sistemas dinámicos lineales discretos Viñeta Clasificación de equipos deportivos y búsqueda en Internet Ejercicios 4.6 Repaso del capítulo Definiciones y conceptos clave Preguntas de repaso 5 Ortogonalidad 5.0 Introducción: sombras en la pared 5.1 Ortogonalidad en Rn Conjuntos ortogonales y ortonormales de vectores Ejercicios 5.1 5.2 Complementos y proyecciones ortogonales Complementos ortogonales Proyecciones ortogonales Ejercicios 5.2 5.3 El proceso de Gram-Schmidt y la factorización QR El proceso de Gram-Schmidt La factorización QR Ejercicios 5.3 Exploración La factorización QR modificada Cómo aproximar eigenvalores con el algoritmo QR 5.4 Diagonalización ortogonal de matrices simétricas Ejercicios 5.4 5.5 Aplicaciones Graficación de ecuaciones cuadráticas Ejercicios 5.5 Repaso del capítulo Definiciones y conceptos clave Preguntas de repaso 6 Espacios vectoriales 6.0 Introducción: Fibonacci en el espacio (vectorial) 6.1 Espacios y subespacios vectoriales Subespacios Conjuntos generadores Ejercicios 6.1 6.2 Independencia lineal, bases y dimensión Independencia lineal Bases Coordenadas Dimensión Ejercicios 6.2 Exploración Cuadrados mágicos 6.3 Cambio de base Matrices de cambio de base El método de Gauss-Jordan para calcular una matriz de cambio de base Ejercicios 6.3 6.4 Transformaciones lineales Propiedades de las transformaciones lineales Composición de transformaciones lineales Inversas de transformaciones lineales Ejercicios 6.4 6.5 El kernel y el rango de una transformación lineal Transformaciones lineales inyectivas y sobreyectivas Isomorfismos de espacios vectoriales Ejercicios 6.5 6.6 La matriz de una transformación lineal Matrices de transformaciones lineales compuesta e inversa Cambio de base y similitud Ejercicios 6.6 Exploración Mosaicos, retículas y la restricción cristalográfica 6.7 Aplicaciones Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas Ejercicios 6.7 Repaso del capítulo Definiciones y conceptos clave Preguntas de repaso 7 Distancia y aproximación 7.0 Introducción: geometría de taxi 7.1 Espacios con producto interno Propiedades de los productos internos Longitud, distancia y ortogonalidad Proyecciones ortogonales y el proceso de Gram-Schmidt Las desigualdades de Cauchy-Schwarz y del triángulo Ejercicios 7.1 Exploraciones Vectores y matrices con entradas complejas Desigualdades geométricas y problemas de optimización 7.2 Normas y funciones de distancia Funciones distancia Normas matriciales El número de condición de una matriz La convergencia de los métodos iterativos Ejercicios 7.2 7.3 Aproximación por mínimos cuadrados El teorema de mejor aproximación Aproximación por mínimos cuadrados Solución al problema de mínimos cuadrados Mínimos cuadrados vía la factorización QR Revisión de la proyección ortogonal La pseudoinversa de una matriz Ejercicios 7.3 7.4 La descomposición de valor singular Los valores singulares de una matriz La descomposición de valor singular Aplicaciones de la DVS Viñeta Compresión de imágenesdigitales Ejercicios 7.4 7.5 Aplicaciones Aproximación de funciones Ejercicios 7.5 Aproximación de funciones Repaso del capítulo Definiciones y conceptos clave Preguntas de repaso 8 Códigos 8.1 Vectores código Ejercicios 8.1 Vectores código Viñeta El sistema Codabar 8.2 Códigos de corrección de error Ejercicios 8.2 Códigos de corrección de error 8.3 Códigos duales Ejercicios 8.3 8.4 Códigos lineales Ejercicios 8.4 8.5 La distancia mínima de un código Ejercicios 8.5 Apéndice A* Notación matemática y métodos de demostración Notación de conjuntos Notación suma Métodos de demostración Apéndice B* Inducción matemática Apéndice C* Complex Numbers Operaciones con números complejos Forma polar Teorema de De Moivre Fórmula de Euler Apéndice D* Polinomios Respuestas a ejercicios impares seleccionados Índice Índice de notación