Trigonometría

Description

Este libro, especialmente preparado para la XV Escuela Venezolana para la Enseñanza de la Matemática, está dirigido a los profesores de matemática de enseñanza media y primeros años de educación superior. Ha sido escrito con el propósito de contribuir a mejorar la enseñanza y el aprendizaje de la trigonometría y lograr mejores rendimientos y logros académicos en los cursos de esta disciplina. Etimológicamente la palabra trigonometría significa medida de los triángulos y es la rama de la matemática que estudia las relaciones métricas entre los diversos elementos de un triángulo. En sus orígenes esta disciplina fue una especie de geometría computacional, que permitía resolver problemas geométricos mediante el cálculo, con mayor precisión que la obtenida por métodos gráficos. Sus primeras aplicaciones importantes fueron en astronomía y navegación. Pero luego se vio que las funciones trigonométricas permiten modelar los fenómenos periódicos, tales como movimientos oscilatorios, ondas acústicas y señales electromagnéticas. Entonces la trigonometría se volvió importante para la ciencia y la tecnología en general, especialmente en áreas como electricidad, electrónica, acústica, comunicaciones, agrimensura, geodesia y robótica, entre otras. Por esa razón esta disciplina se incluye en los planes de estudio de las carreras científicas y técnicas. La concepción educativa que subyace a esta obra es la siguiente: 1. La función de un profesor de matemática no es “transmitir conocimientos”,como quien vierte agua de un recipiente en otro. De hecho esa “transmisión” no es posible. El conocimiento es más bien algo que se construye internamente en cada individuo, a través de un complejo proceso que el profesor debe estimular proponiendo diversas experiencias educativas. En el caso de la matemática, la resolución de problemas por parte del alumno es una actividad clave, imprescindible e insustituible para la construcción de significados y la verdadera comprensión de los temas estudiados; el profesor debe propiciarla cuanto le sea posible. 2. Es imposible que alguien aprenda algo si no desea aprenderlo. Es por eso que se debe motivar a los estudiantes, a través de ejemplos y aplicaciones que despierten su interés. 3. El profesor de matemática debe poseer un conocimiento profundo de su materia y del lugar que ocupa dentro del edificio matemático y en relación con otras disciplinas. Esto le ayudará de manera más efectiva que cualquier teoría psicopedagógica a resolver los problemas didácticos que se le presenten en el aula. 4. Muchos conceptos matemáticos actuales son el resultado de la evolución del pensamiento matemático durante siglos. El conocimiento del proceso histórico puede en muchos casos contribuir a la comprensión de esos conceptos, además de mostrar que la matemática es una actividad realizada por los seres humanos y no una especie de verdad revelada e inmutable. El plan de la obra es el siguiente: en el Capítulo 1 se reseña la historia de la trigonometría y se examinan algunos prerrequisitos geométricos para su estudio. En el Capítulo 2 se introducen los conceptos básicos de la trigonometría. En el Capítulo 3 se enuncian y demuestran los teoremas fundamentales, y se tratan algunas de sus aplicaciones. El Capítulo 4 está dedicado a examinar las identidades trigonométricas más importantes. El Capítulo 5 trata sobre números complejos y su relación con la geometría y la trigonometría. El Capítulo 6 trata de los vectores en dimensiones 2 y 3, con vistas a su aplicación a la trigonometría esférica, a la cual se da una introducción en el Capítulo 7. El libro finaliza con un apéndice que contiene soluciones a los ejercicios propuestos. Una advertencia final: como se supone que el lector posee ya ciertos conocimientos de trigonometría, se han incluido menos ejercicios y motivación de los que serían necesarios en un curso para principiantes. Por otra parte se ha incluido material que normalmente no se cubre en los cursos regulares, pero que se espera le sea útil al profesor para ampliar su horizonte matemático y también para proponer trabajos especiales a estudiantes avanzados o especialmente interesados. Introducción 1 1. Preliminares 5 1.1. Orígenes de la Trigonometría . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. Prerrequisitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.1. Segmentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.2. Ángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.3. Triángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2. Líneas trigonométricas 17 2.1. Líneas trigonométricas de un ángulo agudo . . . . . . . . . 17 2.2. Líneas de un ángulo cualquiera . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3. Líneas trigonométricas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.4. Relaciones básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.5. Ecuaciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3. Fundamentos de la Trigonometría Plana 33 3.1. Teorema de los senos (extendido) . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.2. Teorema del coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.3. Analogías de Mollweide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.4. Teorema de las tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.5. Fórmulas de Briggs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.6. Resolución de triángulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.6.1. Resolución de triángulos rectángulos . . . . . . . . . 41 3.6.2. Resolución de triángulos cualesquiera . . . . . . . . . 42 3.7. Triangulaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.8. Áreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4. Identidades trigonométricas 53 4.1. Líneas de una suma o diferencia de ángulos . . . . . . . . . 53 4.2. Líneas del ángulo doble y del triple . . . . . . . . . . . . . . 55 4.3. Líneas del arco mitad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.4. Expresiones con la tangente del arco mitad . . . . . . . . . 57 4.5. Fórmulas de factorización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.6. Teorema de Tolomeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.7. Identidades con α + β + γ = 180 . . . . . . . . . . . . . . . 62 5. Números complejos 65 5.1. El cuerpo de los números complejos . . . . . . . . . . . . . . 65 5.2. Coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 5.3. Fórmula de De Moivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 5.4. Exponencial compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 5.5. Aplicaciones geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5.6. Polinomios y ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 5.6.1. Raíces de la unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 5.6.2. La ecuación de segundo grado . . . . . . . . . . . . . 73 5.6.3. La ecuación de tercer grado . . . . . . . . . . . . . . 74 6. Vectores 77 6.1. Concepto de vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 6.2. Operaciones con vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 6.2.1. Suma y diferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 6.2.2. Producto por un número real . . . . . . . . . . . . . 80 6.2.3. Producto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 6.2.4. Producto vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 6.3. Ejemplos y aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 6.3.1. Teorema del coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 6.3.2. Teorema de los senos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 6.3.3. Área de un triángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 6.3.4. Volumen de un tetraedro y producto mixto . . . . . 85 6.3.5. Fórmula de expulsión . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 6.3.6. Identidad de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 6.3.7. Producto vectorial de dos productos vectoriales . . . 87 7. Trigonometría esférica 89 7.1. Geometría de la esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 7.1.1. Triángulos esféricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 7.1.2. La esfera terrestre y la esfera celeste . . . . . . . . . 92 7.2. Teoremas fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 7.2.1. Fórmula de los cosenos . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 7.2.2. Fórmula de los senos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 7.2.3. Fórmula de la cotangente . . . . . . . . . . . . . . . 96 7.2.4. Analogías de Gauss-Delambre . . . . . . . . . . . . . 97 7.2.5. Analogías de Neper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 7.3. Resolución de triángulos esféricos . . . . . . . . . . . . . . . 98 A. Soluciones a los ejercicios 101 Bibliografía 113 Índice alfabético 115