Дифференциальные уравнения второго порядка

Description

В рассматриваемой книге приведены методики решения дифференциальных уравнений второго порядка при помощи специальных и гипергеометрических функций, рассмотрены рекуррентные алгоритмы для аналитического решения в виде степенного ряда и подобраны многочисленные варианты решений в виде «точной формулы». Количество вариантов решаемых уравнений в виде «точной формулы» превосходит их количество во всех известных автору справочниках. Пособие содержит много задач для практического закрепления материала. Книга будет полезна при изучении и решении дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами в высших учебных заведениях. Введение Глава 1. Известная теория решения линейных дифференциальных уравнений второго порядка 1.1. Формулы для общего решения 1.2. Уравнение с постоянными коэффициентами и уравнение Эйлера 1.3. Случаи понижения порядка 1.4. Уравнения, решаемые с помощью специальных и гипергеометрических функций 1.5. Решение при помощи разложения в степенной ряд Глава 2. Уравнения, решаемые с помощью гипергеометрических функций 2.1. Уравнение вида (a2xm+1 + b2)y′′(x) + a1xmy′(x) + a0xm−1y(x) = 0 2.1.1. Случай a2 = 0 2.1.2. Случай a2 = 0 и a1 = 0 2.2. Уравнение вида (a2xm+2+b2x)y′′(x)+(a1xm+1+b1)y′(x)+a0xmy(x)=0 2.2.1. Особый случай b1 = b2 2.2.2. Случай a2 = 0 2.2.3. Особый случай a2 = 0 и b1 = b2 2.2.4. Случай a2 = 0 и a1 = 0 2.2.5. Особый случай a2 = 0, a1 = 0 и b1 = b2 2.3. Уравнение вида (a2xm+3 + b2x2)y′′(x) + (a1xm+2 + b1x)y′(x) + (a0xm+1 + b0)y(x) = 0 2.3.1. Особый случай b0 = (b1 − b2)2/(4b2) 2.3.2. Случай a2 = 0 2.3.3. Особый случай a2 = 0 и b0 = (b1 − b2)2/(4b2) 2.3.4. Случай a2 = 0 и a1 = 0 2.3.5. Особый случай a2 = 0, a1 = 0 и b0 = (b1 − b2)2/(4b2) 2.4. Некоторые решаемые варианты уравнений Глава 3. Новые алгоритмы решения при помощи разложения в степенной ряд по независимой переменной 3.1. Поиск решения не в особых точках пространства 3.2. Поиск решения неоднородного дифференциального уравнения 3.3. Особенность первой степени 3.3.1. Величина r /∈ Z 3.3.2. Поиск второго решения, когда r = 0 3.3.3. Поиск решения, когда r ∈ Z > 0 3.3.4. Поиск решения, когда r ∈ Z 0 3.4.4. Поиск решения, когда r1 ∈ C и r2 ∈ C 3.5. Поиск решения в окрестности иррегулярной особой точки 3.6. Нелинейные дифференциальные уравнения Глава 4. Варианты поиска «первого» аналитического решения 4.1. Поиск первого решения в виде полинома 4.2. Поиск первого решения в виде полинома дифференциальных уравнений с одной произвольной функцией в коэффициентах 4.2.1. Произвольная функция присутствует в выражении перед первой и второй производными 4.2.2. Произвольная функция присутствует в выражении перед нулевой и второй производными 4.2.3. Произвольная функция присутствует в выражении перед нулевой и первой производными 4.3. Варианты первого решения уравнений с произвольными функциями f2(x) и f1(x) 4.3.1. Задачи для самостоятельного решения 4.3.2. Ответы для примеров 4.4. Варианты первого решения уравнений с произвольными функциями f2(x) и f0(x) 4.5. Варианты первого решения уравнений с произвольными функциями f1(x) и f0(x) Литература