Algebra lineare, per matematici

Description

Capitolo 1. I sistemi lineari 1.1. Sistemi lineari 1.2. Sistemi ridondanti e rango 1.3. Il linguaggio degli insiemi 1.4. Brevi cenni sul metodo di Gauss 1.5. Alcune cose che si trovano nei libri di matematica 1.6. Prima esercitazione 1.7. Complementi: ulteriori nozioni base di logica matematica Capitolo 2. Numeri interi e razionali 2.1. Numeri naturali, interi e razionali 2.2. Applicazioni tra insiemi 2.3. Il principio di induzione matematica 2.4. Il teorema fondamentale dell'aritmetica 2.5. Attenti all'errore! 2.6. Fattoriali e coefficienti binomiali 2.7. Il prodotto di composizione 2.8. Complementi: i numeri di Fibonacci e di Bernoulli Capitolo 3. Numeri reali e complessi 3.1. I numeri reali 3.2. Estensioni quadratiche 3.3. I numeri complessi 3.4. Rappresentazione geometrica dei numeri complessi 3.5. Potenze e radici di numeri complessi 3.6. Campi di numeri 3.7. Campi, polinomi e funzioni razionali 3.8. Complementi: la formula di Cardano Capitolo 4. Spazi e sottospazi vettoriali 4.1. Spazi vettoriali numerici 4.2. Spazi vettoriali 4.3. Sottospazi vettoriali 4.4. Combinazioni lineari e generatori 4.5. Indipendenza lineare e teorema di scambio 4.6. Basi e dimensione 4.7. Semisemplicità e formula di Grassmann 4.8. Complementi: i numeri algebrici Capitolo 5. Applicazioni lineari 5.1. Applicazioni lineari 5.2. Nucleo, immagine e teorema del rango 5.3. Matrici ed applicazioni lineari 5.4. Iperpiani e sistemi di coordinate 5.5. Spazi di applicazioni lineari 5.6. Complementi: successioni esatte e caccia al diagramma Capitolo 6. Operazioni con le matrici 6.1. Traccia e trasposta 6.2. L'algebra delle matrici 6.3. Matrici invertibili 6.4. Rango di una matrice 6.5. Matrici speciali 6.6. Complementi: attenti a chi si incontra in rete Capitolo 7. Riduzione a scala ed applicazioni 7.1. L'algoritmo di divisione 7.2. Matrici a scala 7.3. Operazioni sulle righe e riduzione a scala 7.4. Il teorema di Rouché-Capelli 7.5. Equazioni parametriche e cartesiane 7.6. Riduzione di Gauss-Jordan e calcolo della matrice inversa 7.7. Prodotto scalare e proiezioni ortogonali 7.8. Complementi: matrici a coefficienti interi e riduzione di Smith Capitolo 8. Il determinante 8.1. Una formula per il determinante 8.2. Segnatura delle permutazioni ed unicità del determinante 8.3. Incroci e segnatura 8.4. Sviluppi di Laplace 8.5. La matrice dei cofattori e la regola di Cramer 8.6. Complementi: lo Pfaffiano Capitolo 9. Endomorfismi e polinomio caratteristico 9.1. Matrici simili 9.2. Spettro e polinomio caratteristico 9.3. Matrici compagne 9.4. Endomorfismi 9.5. Autovalori, autovettori e sottospazi invarianti 9.6. Endomorfismi triangolabili e nilpotenti 9.7. Endomorfismi diagonalizzabili 9.8. Il teorema fondamentale dell'algebra 9.9. Complementi: similitudine complessa di matrici reali Capitolo 10. Polinomio minimo 10.1. Il polinomio minimo 10.2. Il teorema di Cayley-Hamilton 10.3. Polinomio minimo e diagonalizzazione 10.4. Matrici ed endomorfismi nilpotenti 10.5. Matrici simmetriche ed antisimmetriche reali 10.6. Criterio di Sylvester e regola dei segni di Cartesio 10.7. Complementi: il teorema di Cayley-Hamilton-Frobenius Capitolo 11. Autospazi generalizzati e forma canonica di Jordan 11.1. La decomposizione di Fitting 11.2. Diagrammi di Young 11.3. Autospazi generalizzati 11.4. La forma canonica di Jordan 11.5. Complementi: la decomposizione di Dunford Capitolo 12. Spazi duali 12.1. Spazi duali 12.2. Basi duali e sistemi di coordinate 12.3. Biduale e trasposta 12.4. Dualità vettoriale 12.5. Forme alternanti 12.6. Il principio del massimo 12.7. Complementi: la prova del principio del massimo Capitolo 13. Spazi quoziente 13.1. Relazioni di equivalenza 13.2. Spazi vettoriali quoziente 13.3. Triangolazione simultanea di endomorfismi nilpotenti 13.4. La costruzione dei numeri reali 13.5. Complementi: insiemi ordinati e lemma di Zorn Capitolo 14. Fattorizzazione di polinomi e forma canonica razionale 14.1. Il massimo comune divisore di polinomi 14.2. Polinomi irriducibili e fattorizzazione unica 14.3. Decomposizione primaria ed endomorfismi semisemplici 14.4. Spazi ciclici, irriducibili e indecomponibili 14.5. La forma canonica razionale 14.6. Complementi: il risultante di due polinomi Capitolo 15. Spazi e trasformazioni affini 15.1. Combinazioni baricentriche, spazi e sottospazi affini 15.2. Il rapporto semplice 15.3. Inviluppo affine, dimensione e formula di Grassmann 15.4. Polinomi di Bernstein e curve di Bézier 15.5. Complementi: spazi affini astratti e modellati Capitolo 16. Complementi: le trascendenze famose 16.1. Irrazionalità di e ed l 16.2. L'operatore di derivazione 16.3. Irrazionalità di 16.4. La trascendenza di l 16.5. La trascendenza di e 16.6. Polinomi simmetrici 16.7. La trascendenza di Capitolo 17. Note, commenti, curiosità e riferimenti bibliografici Capitolo 18. Soluzioni e suggerimenti di alcuni esercizi