Déformations Infinitésimales des Structures Conformes Plates

Description

In this volume the authors construct an explicit geometric resolution of the sheaf of conformal Killing vector fields of a conformally flat Riemannian manifold; further, they study the self-adjointness of this resolution and deduce the duality properties of the cohomology with values in this sheaf. This construction is carried out within the framework of the Spencer-Goldschmidt theory of overdetermined systems of partial differential equations. In the context of the deformation theory developed by Kodaira and Spencer, it leads to many applications in the deformation theory of conformally flat structures, and provides one of the few concrete examples of these theories not related to complex manifolds. The appendix treats semisimple Lie algebras and duality theorems. Table des matières INTRODUCTION 1 Références pour l'introduction 19 CHAPITRE 1. Les résolutions. 21 0. Equations différentielles linéaires surdéterminées 23 1. L'équation de Killing 35 2. La cohomologie de Spencer de l'algèbre conforme l\-\ 3. Opérateurs de courbure conforme 65 4. Le morphisme @ ' 75 5. La résolution en dimension ^4 83 6. Le cas de la dimension 3 91 7. La caractéristique d'Euler-Poincaré des champs de Killing conformes 97 CHAPITRE 2. La dualité. 99 8. Une décomposition des fibres de la résolution de Calabi 101 9. Préliminaires algébriques pour la dualité .. 115 10. Dualité pour la cohomologie de Spencer de l'algèbre conforme 127 11. Calcul des adjoints formels 137 12. Les résolutions 159 13. L'invariance conforme , ,, 165 14. Théorèmes de dualité 171 15. Le cas des variétés non-orientées 179 16. Les variétés à courbure constante 183 17. Les tores plats 189 APPENDICE. Algebres de Lie semi-simples et théorèmes de dualité. . . . . 199 A.l. Suites spectrales et résolutions 201 A.2. Dualité et résolutions auto-adjointes .... 209 A.3. Retour à la géométrie conforme 219 REFERENCES 225