Lezioni di analisi matematica 1

Description

Questo testo mira sia ad una trattazione rigorosa della materia che a fare acquisire allo studente quei concetti base che gli permettano di avere della materia stessa una visione che, a parere dell’autore, è di una certa profondità e sintesi. Ciascun concetto è stato presentato in quello che, almeno agli occhi dell’autore, appare essere il suo ambiente naturale. È stato fatto uno sforzo affinché le ipotesi degli enunciati siano quelle naturali all’enunciato stesso e non altre magari adatte ad una presentazione più spiccia, anche a costo di richiedere allo studente un impegno iniziale maggiore. Numerosi sono gli esercizi, molti di questi svolti. Il loro livello è generalmente adeguato anche nel caso in cui il docente decida di tralasciare dal programma molti degli aspetti teorici del libro ed intenda rivolgersi ad un pubblico con minori pretese teoriche. Il testo è rivolto sia a studenti dei corsi di laurea in matematica che ad altri di carattere scientifico. Può essere adottato anche in corsi di Ingegneria, facendo però accurati tagli e alcune integrazioni. Cover Lezioni di Analisi Matematica 1 Indice Prefazione 1 - Preliminari 1.1 Insiemi 1.2 Filtro su un insieme 1.3 Prodotto cartesiano di insiemi 1.4 Relazioni 1.5 Definizione di funzione 1.6 Inverse sinistre, inverse destre e l’assioma della scelta 1.7 Ancora sui prodotti cartesiani di più insiemi 2 - Numeri naturali, razionali, reali e complessi 2.1 I numeri naturali e il principio di induzione 2.2 I numeri reali 2.3 La retta reale estesa con due punti 2.4 Valore assoluto, segno e funzione caratteristica 2.5 Intervalli 2.6 Massimi e minimi. Maggioranti e minoranti 2.7 Estremo superiore ed inferiore 2.8 Ordinamento puntuale delle funzioni 2.9 Parte positiva e negativa di una funzione 2.10 Lemma di Archimede e parte intera 2.11 Densità ordinale 2.12 Funzioni pari e funzioni dispari 2.13 Funzioni monotone 2.14 Potenze ad esponente intero 2.15 Potenze ad esponente razionale 2.16 Potenze ad esponente reale 2.17 Breve digressione elementare sulle funzioni trigonometriche 2.18 I numeri complessi 2.19 Forma polare dei numeri complessi 2.20 Risoluzione di alcune equazioni nel campo complesso 2.21 Alcuni esercizi sulla risoluzione delle equazioni nel campo complesso 2.22 Uguaglianze e disuguaglianze elementari 2.23 Insiemi finiti e insiemi numerabili 3 - Equipotenza degli insiemi 3.1 Insiemi equipotenti e cardinalità 3.2 Insiemi finiti 3.3 Insiemi infiniti ed insiemi numerabili 4 - Prime nozioni di topologia 4.1 Spazi metrici, prime nozioni 4.2 Spazi topologici 4.3 Sottoinsiemi chiusi di uno spazio topologico 4.4 Intorni 4.5 Spazi topologici separati 4.6 Topologie e famiglie di intorni 4.7 Nomenclatura topologica dei punti 4.8 Chiusura di un insieme 4.9 Sottoinsiemi topologicamente densi 4.10 Una topologia per la retta reale estesa con due punti 4.11 Estensione dello spazio ℝⁿ con un punto 5 - Funzioni continue 5.1 Definizione di continuità in un punto 5.2 Continuità delle restrizioni 5.3 Continuità delle funzioni composte 5.4 Proprietà degli insiemi su cui due funzioni continue coincidono 5.5 Topologia su uno spazio prodotto 5.6 Funzioni continue a valori reali 6 - Limiti 6.1 Definizione di limite 6.2 Limite delle restrizioni 6.3 Limite delle funzioni composte 6.4 Qualche osservazione sui limiti a infinito 6.5 Successioni e limiti 6.6 Limiti per funzioni a valori reali 6.7 Limiti di successioni reali 6.8 Sottosuccessioni 6.9 Limiti per funzioni a valori in uno spazio prodotto 6.10 Limiti di funzioni monotone 6.11 Continuità delle funzioni monotone 6.12 Il teorema di Cesàro ed applicazioni 6.13 Calcolo di alcuni limiti 6.14 Limiti di successioni definite per induzione 6.15 Alcuni esercizi sulle successioni 6.16 Cenni al minimo e massimo limite delle successioni reali 7 - Spazi connessi 7.1 Definizione di connessione 7.2 I sottoinsiemi connessi della retta reale 7.3 Connessione per archi 7.4 Sottoinsiemi convessi di uno spazio vettoriale 7.5 Connessione dei sottoinsiemi convessi di ℝⁿ 7.6 Funzioni continue su spazi connessi 7.7 Il teorema degli zeri e delle inverse 7.8 Funzioni localmente costanti 7.9 Unione di sottoinsiemi connessi e componenti connesse 7.10 Alcuni esercizi sulla nozione di connessione 8 - La completezza negli spazi metrici 8.1 Successioni di Cauchy 8.2 La definizione di completezza 9 - Spazi compatti 9.1 Compattezza sequenziale 9.2 Compattezza 9.3 Compattezza dei prodotti cartesiani 9.4 I sottoinsiemi compatti di ℝⁿ 9.5 Compattezza della retta reale estesa con due punti 9.6 Compattezza dello spazio Rn esteso con un punto 9.7 Funzioni reali definite su un compatto 10 - Calcolo differenziale 10.1 Introduzione al concetto di derivata 10.2 Derivabilità a destra e a sinistra 10.3 Continuità e derivabilità 10.4 Regole di derivazione 10.5 Qualche esercizio sulla derivazione 10.6 Estremanti relativi e zeri della derivata 10.7 I teoremi di Rolle e di Lagrange 10.8 Segno della derivata e monotonia delle funzioni 10.9 Altre conseguenze del teorema di Lagrange 10.10 Il teorema degli incrementi finiti e il teorema dide l’Hôpital 10.11 Confronto locale e simboli di Landau 10.12 Derivate di ogni ordine 10.13 La formula di Taylor con il resto di Peano 10.14 Applicazioni del principio di sostituzione e della formula di Taylor 10.15 Alcuni esercizi sul calcolo dei limiti con il principio di sostituzione 10.16 Applicazioni del calcolo differenziale allo studio dei massimi e minimi relativi 10.17 La formula di Taylor con il resto di Lagrange 10.18 Funzioni concave e convesse 10.19 Convessità e concavit `a stretta 10.20 Condizioni di convessità e concavità per funzioni derivabili 10.21 Applicazioni della convessità e della concavità allo studio delle disuguaglianze 10.22 Continuità e derivabilità delle funzioni convesse e concave 10.23 Punti di flesso 10.24 Asintoti 10.25 Esempi di studio qualitativo del grafico di una funzione 10.26 Alcuni esercizi sullo studio qualitativo del grafico di una funzione 10.27 Applicazioni allo studio delle disuguaglianze 11 - Funzioni uniformemente continue 11.1 Continuità uniforme e moduli di continuità uniforme 11.2 Continuità uniforme della distanza e distanza da un insieme 11.3 Funzioni continue definite in spazi metrici compatti 11.4 Il teorema dell’estensione per le funzioni uniformemente continue 11.5 Alcuni esercizi sulle funzioni uniformemente continue 12 - L’integrale di Riemann 12.1 Funzioni a scalino 12.2 L’integrale di Riemann per le funzioni a scalino a supporto compatto 12.3 Misura elementare di Peano-Jordan in ℝ 12.4 Misura elementare di Peano-Jordan in ℝ² 12.5 L’integrale di Riemann 12.6 L’integrale di Riemann di una funzione su un sottoinsieme di ℝ 12.7 Integrabilità delle funzioni continue 12.8 La media integrale 12.9 Integrali di Riemann su intervalli orientati 12.10 Integrali indefiniti 12.11 Il teorema di Torricelli ed il teorema fondamentale del calcolo 12.12 Integrali indefiniti immediati 12.13 Integrazione per parti 12.14 Integrazione per sostituzione 12.15 Integrazione delle funzioni razionali fratte 12.16 Regola di Hermite per le funzioni razionali fratte 12.17 Integrazione di funzioni razionali di seno e coseno 12.18 Cenni alle funzioni iperboliche 12.19 Integrali di funzioni riconducibili a integrali di funzioni razionali 12.20 Alcuni esercizi sul calcolo degli integrali 12.21 Primitive di ordine superiore al primo 12.22 La formula di Taylor con il resto in forma integrale 12.23 Enunciato riassuntivo del teorema della formula di Taylor 13 - Il piano complesso come spazio metrico 13.1 Una distanza e una topologia per il piano complesso 13.2 Il piano complesso esteso con un punto 13.3 Continuità e limiti per funzioni a valori complessi 13.4 Qualche osservazione sui limiti a infinito 13.5 Qualche osservazione sui limiti delle successioni a termini complessi 13.6 Limiti in forma indeterminata 14 - Serie numeriche 14.1 Definizione di serie 14.2 Serie a termini positivi 14.3 Serie assolutamente convergenti 14.4 Il criterio del rapporto 14.5 Il criterio della radice 14.6 Il criterio del confronto asintotico 14.7 Serie a termini di segno alterno 14.8 Il criterio di Abel-Dirichlet 14.9 Prodotto alla Cauchy di due serie 14.10 Serie di potenze 14.11 Il teorema di Cauchy-Hadamard 14.12 Serie di potenze con termini generali fra loro asintotici 14.13 La serie di Taylor 14.14 Una formula binomiale per esponenti reali e la serie binomiale 14.15 La funzione esponenziale nel campo complesso 14.16 Funzioni goniometriche nel campo reale e complesso 14.17 Alcuni esercizi sulle serie 15 - L’integrale di Riemann generalizzato 15.1 Definizione di integrale di Riemann generalizzato 15.2 Valore principale di una funzone localmente Riemann integrabile in ℝ 15.3 Criteri del confronto 15.4 Il criterio dell’integrale per le serie 15.5 Alcuni esercizi sugli integrali di Riemann generalizzati Bibliografia Indice analitico Back Cover