Курс высшей математики. Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление. Лекции и практикум

Description

Предисловие Курс лекций Лекция 1. Введение в математический анализ § 1.1. Предел числовой последовательности § 1.2. Бесконечно малые последовательности § 1.3. Правила вычисления пределов последовательностей § 1.4. Бесконечно большие последовательности § 1.5. Монотонные последовательности Контрольные вопросы Лекция 2. Предел функции в бесконечности § 2.1. Основные виды числовых множеств § 2.2. Пределы функции в бесконечности § 2.3. Асимптоты графика функции Контрольные вопросы Лекция 3. Пределы функции в точке § 3.1. Односторонние пределы функции § 3.2. Предел функции в точке § 3.3. Бесконечно большие функции Контрольные вопросы Лекция 4. Непрерывность функции § 4.1. Точки непрерывности и точки разрыва функции § 4.2. Локальные свойства непрерывных функций Контрольные вопросы Лекция 5. Свойства функций, непрерывных на отрезке § 5.1. Понятие о непрерывности функции на отрезке § 5.2. Свойства функций, непрерывных на отрезке Контрольные вопросы Лекция 6. Бесконечно малые функции § 6.1. Бесконечно малые функции и их свойства § 6.2. Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими функциями § 6.3. Сравнение бесконечно малых функций Контрольные вопросы Лекция 7. Эквивалентные бесконечно малые функции § 7.1. Определение эквивалентных функций § 7.2. Основные свойства эквивалентных функций § 7.3. Условия эквивалентности Контрольные вопросы Лекция 8. Производная функции § 8.1. Дифференциальное исчисление функции одной переменной § 8.2. Понятие производной § 8.3. Геометрическая интерпретация производной § 8.4. Механический смысл производной § 8.5. Односторонние производные § 8.6. Необходимое условие существования производной § 8.7. Теорема о производных суммы, произведения и частного двух функций § 8.8. Производные элементарных функций Контрольные вопросы Лекция 9. Дифференциал функции § 9.1. Дифференцируемость функций § 9.2. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости § 9.3. Необходимое условие дифференцируемости § 9.4. Геометрический смысл дифференциала § 9.5. Дифференциал суммы, произведения и частного § 9.6. Применение дифференциала в приближенных вычислениях § 9.7. Производная сложной функции § 9.8. Инвариантность (неизменяемость) формы первого дифференциала Контрольные вопросы Лекция 10. Производная обратной функции. Гиперболические функции и их дифференцирование § 10.1. Теорема о существовании обратной функции § 10.2. Теорема о производной обратной функции § 10.3. Геометрический смысл производной обратной функции § 10.4. Гиперболические функции и их дифференцирование § 10.5. Графики гиперболических функций § 10.6. Производные § 10.7. Таблица производных Контрольные вопросы Лекция 11. Логарифмическое дифференцирование § 11.1. Производные и дифференциалы высших порядков § 11.2. Формула Лейбница § 11.3. Дифференциалы высшего порядка § 11.4. Нарушение инвариантности формы записи для дифференциалов порядка выше первого § 11.5. Функции, заданные параметрически, и их дифференцирование Контрольные вопросы Лекция 12. Основные теоремы дифференциального исчисления § 12.1. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши § 12.2. Раскрытие неопределенностей § 12.3. Правило Лопиталя (другие виды неопределенностей) Контрольные вопросы Лекция 13. Формула Тейлора § 13.1. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа § 13.2. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано § 13.3. Формула Маклорена для некоторых функций § 13.4. Частные случаи § 13.5. Применение формулы Тейлора § 13.6. Вычисление пределов с помощью формулы Тейлора Контрольные вопросы Лекция 14. Экстремумы функции § 14.1. Исследование функций. Условия возрастания и убывания функций § 14.2. Необходимое и достаточное условие монотонности функции на отрезке § 14.3. Достаточные условия строгой монотонности § 14.4. Достаточное условие возрастания (убывания) функции в точке § 14.5. Экстремумы функций § 14.6. Необходимое условие экстремума § 14.7. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке § 14.8. Достаточные условия экстремума § 14.9. Исследование на экстремум с помощью высших производных Контрольные вопросы Лекция 15. Построение графиков функции § 15.1. Направление выпуклости графика функции. Точки перегиба § 15.2. Достаточные условия выпуклости (вогнутости) § 15.3. Достаточные условия точки перегиба § 15.4. Необходимое условие точки перегиба § 15.5. Общий план исследования функций и построение графиков Контрольные вопросы Практические занятия П Р Е Д Е Л Ы Занятие 1. Предел последовательности § 1.1. Понятие о пределе числовой последовательности § 1.2. Бесконечно малые последовательности § 1.3. Бесконечно большие последовательности § 1.4. Приемы нахождения пределов дробей, содержащих иррациональности Занятие 2. Пределы функции в бесконечности § 2.1. Понятие о пределе функции в бесконечности § 2.2. Приемы вычисления пределов функции в бесконечности Занятие 3. Асимптоты графика функции § 3.1. Наклонные и горизонтальные асимптоты § 3.2. Бесконечно большие функции Занятие 4. Предел функции в точке. Непрерывность § 4.1. Понятие о пределе функции в точке и непрерывности § 4.2. Вычисление пределов функции в точке § 4.3. Односторонние пределы функции в точке Занятие 5. Вертикальные асимптоты графика функции § 5.1. Вертикальные асимптоты § 5.2. Нахождение вертикальных асимптот Занятие 6. Бесконечно малые функции § 6.1. Бесконечно малые функции § 6.2. Эквивалентные бесконечно малые функции § 6.3. Нахождение пределов с помощью эквивалентных бесконечно малых функций ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО Занятие 7. Понятие производной. Техника дифференцирования § 7.1. Понятие производной § 7.2. Таблица производных и правила дифференцирования § 7.3. Дифференцирование сложной функции Занятие 8. Простейшие применения производной. Дифференциал функции. Логарифмическое дифференцирование § 8.1. Простейшие применения производной § 8.2. Дифференциал функции § 8.3. Логарифмическое дифференцирование Занятие 9. Производные высших порядков. Формула Тейлора § 9.1. Производные высших порядков § 9.2. Формула Тейлора § 9.3. Исследование локального поведения функции с помощью формулы Тейлора Занятие 10. Правило Лопиталя. Основные теоремы дифференциального исчисления § 10.1. Правило Лопиталя § 10.2. Предел показательно-степенной функции § 10.3. Основные теоремы дифференциального исчисления Занятие 11. Исследование функции с помощью производной первого порядка § 11.1. Возрастание и убывание функции § 11.2. Локальные экстремумы § 11.3. Исследование функции с помощью производной первого порядка Занятие 12. Исследование функции с помощью производной второго порядка § 12.1. Выпуклость и вогнутость графика функции § 12.2. Точки перегиба § 12.3. Исследование функции с помощью производной второго порядка ПРИЛОЖЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ Занятие 13. Общая схема исследования функции Занятие 14. Исследование функций, заданных параметрическими уравнениями и уравнениями в полярных координатах § 14.1. Исследование функций, заданных параметрическими уравнениями § 14.2. Исследование функций, заданных уравнениями в полярных координатах Занятие 15. Отыскание глобальных экстремумов § 15.1. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке § 15.2. Применение теории максимума и минимума при решении задач Контрольная работа «Пределы» Контрольная работа «Дифференцирование» Контрольная работа «Графики» Экзаменационная программа Литература Содержание