Algèbres et modules : Cours et exercices

Description

"Dans un style moderne et accessible, cet ouvrage offre une introduction claire et précise aux théories des modules et des catégories, ainsi qu'à l'étude des anneaux. A travers trois grandes parties, l'auteur garde comme fil conducteur l'étude des modules sur une K-algèbre. Après un exposé des notions de base, le lecteur est initié aux grands théorèmes de structure (modules simples et semisimples, radicaux, modules artiniens et équivalences de Morita). Les derniers chapitres sont consacrés aux notions homologiques en théorie des modules."--Page 4 de la couverture. Table des matières Introduction Chapitre I : Algèbres 1. Structure de K-algèbre 2. Morphismes d'algèbres Exercices du chapitre I Chapitre II : Modules sur une K-algèbre 1. Définition et exemples 2. Applications linéaires 3. Suites exactes 4. Théorèmes d'isomorphisme 5. Modules d'homomorphismes Exercices du chapitre II Chapitre III : Catégories de modules 1. Catégories et foncteurs 2. Produits et sommes directes 3. Modules libres 4. Catégories linéaires et abéliennes 5. Produits fibrés et sommes amalgamées 6. Équivalences de catégories Exercices du chapitre III Chapitre IV : Foncteurs Hom, modules projectifs et injectifs 1. Exactitude de foncteurs 1. Modules projectifs 2. Modules injectifs 3. Extensions essentielles et enveloppes injectives Exercices du chapitre IV Chapitre V : Produits tensoriels. Algèbres tensorielle et extérieure 1. Produit tensoriel de modules 2. Propriétés fonctorielles du produit tensoriel 3. Théorèmes de Watts 4. Algèbre tensorielle, graduations 5. Algèbre extérieure, déterminants Exercices du chapitre V Chapitre VI : Conditions de finitude. Modules simples et semisimples 1. Modules artiniens et noethériens 2. Algèbres artiniennes et noethériennes 3. Décomposition en blocs 4. Modules simples 5. Suites de composition, théorème de Jordan-Hölder 6. Modules semisimples 7. Algèbres semisimples Exercices du chapitre VI Chapitre VII : Radicaux de modules et d'algèbres 1. Radical d’un module 2. Socle d’un module 3. Radical d’une algèbre 4. Modules artiniens et algèbres artiniennes 5. Radical d’une catégorie K-linéaire 6. Modules indécomposables Exercices du chapitre VII Chapitre VIII : Modules projectifs. Équivalences de Morita 1. Idempotents et projectifs indécomposables 2. Couvertures projectives 3. Équivalences de catégories de modules Chapitre IX : Foncteurs Ext et Tor 1. Foncteurs d’homologie 2. Foncteurs dérivés 3. Foncteurs d’extension 4. Foncteurs de torsion. 5. Suites exactes courtes et extensions Exercices du chapitre IX Chapitre X : Dimensions homologiques de modules et d'algèbres 1. Dimensions homologiques de modules 2. Dimensions homologiques d’une algèbre Exercices du chapitre X Chapitre XI : Homologie et cohomologie des algèbres 1. Cohomologie de Hochschild d’une algèbre 2. Algèbres séparables Exercices du chapitre XI Chapitre XII : Algèbres héréditaires, tensorielle et auto-injectives 1. Algèbres héréditaires 2. Algèbres tensorielle 3. Algèbres auto-injectives Exercices du chapitre XII Bibliographie Index