Introdução à Geometria Diferencial

Description

Neste texto, nos propomos introduzir a teoria que estuda objetos geométricos através dos conceitos e técnicas do Cálculo Diferencial, a qual, naturalmente, designa-se Geometria Diferencial. Mais especificamente, abordaremos, desse ponto de vista, as curvas e superfícies ditas regulares, as quais caracterizam-se pelo fato de que, em cada um de seus pontos, há um “espaço tangente” bem definido. Essa característica nos permite, então, introduzir o conceito mais fundamental da Geometria Diferencial, o de curvatura, e, relativamente ao mesmo, estudar e classificar esses objetos. A Geometria Diferencial de superfícies, em essência, foi introduzida por Carl Friedrich Gauss (1777–1855) no célebre artigo, publicado em 1828, intitulado Disquisitiones Generales circa Superficies Curvas. Nesse artigo, Gauss propõe uma nova abordagem às superfícies — através de parametrizações locais — e introduz o conceito de curvatura (gaussiana), estabelecendo, então, dois belos e surpreendentes resultados que o envolvem, hoje conhecidos como Teorema Egregium e Teorema Elegantissimum. A compreensão e a apreciação desses teoremas, juntamente com aquele conhecido como Teorema de Gauss–Bonnet, constituem, aqui, o nosso principal objetivo. A teoria será apresentada em quatro capítulos. No primeiro, introduziremos as curvas planas, bem como as espaciais. No segundo, consideraremos as superfícies regulares e construiremos a teoria do cálculo diferencial das funções definidas nas mesmas. O capítulo seguinte será devotado ao estudo das formas quadráticas, ditas fundamentais, o que nos conduzirá aos conceitos de comprimento e área em superfícies, bem como ao de curvatura gaussiana. No capítulo final, discutiremos sobre as noções de isometria e geodésica, e concluiremos com a apresentação dos supracitados teoremas.