Geometria Diferencial

Description

DESCRIÇÃO O livro é uma introdução à Geometria Diferencial das curvas e superfícies no espaço euclidiano, com ênfase no conteúdo geométrico dos resultados, para estudantes com conhecimentos básicos de Álgebra Linear e de Cálculo de Várias Variáveis. Além de cobrir os fundamentos e os resultados clássicos do assunto (como a desigualdade isoperimétrica e o teorema de Gauss-Bonnet), contém outros, de inegável interesse geométrico, normalmente ignorados em livros introdutórios (curvas e superfícies de largura constante, classificação das superfícies completas de curvatura constante não-negativa, por exemplo), possibilitando assim uma variada escolha de tópicos adicionais para um primeiro curso de Geometria Diferencial. CONTEÚDO 1 Curvas Diferenciáveis 1.1 Velocidade e comprimento de arco 1.2 Aceleração, curvatura e triedro de Frenet 1.3 Curvas planares 1.4 Contato de curvas 1.5 Curvas convexas 1.6 Curvas de largura constante 1.7 Teorema dos quatro vértices 1.8 A desigualdade isoperimétrica 2 Superfícies Regulares 2.1 Definição e exemplos 2.2 Mudança de parâmetros, superfícies de nível 2.3 Funções diferenciáveis em superfícies, espaço tangente 2.4 Orientabilidade 2.5 Áreas, comprimentos e ângulos: a primeira forma fundamental 3 A Geometria da Aplicação de Gauss 3.1 A aplicação de Gauss e sua derivada 3.2 A segunda forma fundamental 3.3 Campos de vetores 4 A Geometria Intrínseca das Superfícies 4.1 Aplicações conformes e isometrias 4.2 O teorema egrégio de Gauss 4.3 Derivada covariante, transporte paralelo, curvatura geodésica 4.4 O teorema da divergência, Primeira variação de área 4.5 O teorema de Gauss-Bonnet 4.6 Propriedades minimalizantes das geodésicas Apêndice: Índice de Rotação 5 A Geometria Global das Superfícies 5.1 Superfícies completas 5.2 Recobrimentos 5.3 Superfícies completas de curvatura não-positiva 5.4 Ovais (primeira parte): a rigidez da esfera 5.5 Ovais: áreas e volumes; superfícies de largura constante 5.6 Superfícies abstratas. O plano hiperbólico 5.7 Superfícies completas de curvatura constante Bibliografia Índice Remissivo