Теория функций комплексной переменной

Description

Учебник создан на базе лекций, читавшихся авторами в течение ряда лет на физическом факультете Московского государственного университета. В книге изложена теория функций комплексной переменной и операционного исчисления. Приведены примеры применения методов теории функций комплексной переменной. Даны основные понятия теории функций многих комплексных переменных. Для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности "Физика" и "Прикладная математика". Введение......Page 13 2. Действия над комплексными числами......Page 14 3. Геометрическая интерпретация комплексных чисел......Page 16 4. Извлечение корня из комплексного числа......Page 17 1. Определение сходящейся последовательности......Page 19 2. Критерий Коши......Page 21 3. Бесконечно удаленная точка......Page 22 1. Основные определения......Page 23 2. Непрерывность......Page 25 3. Примеры......Page 28 1. Определение. Условия Коши—Римана......Page 32 2. Свойства аналитических функций......Page 35 3. Геометрический смысл производной функции комплексной переменной......Page 37 4. Примеры......Page 38 1. Основные свойства......Page 40 2. Теорема Коши......Page 43 3. Неопределенный интеграл......Page 45 1. Вывод формулы Коши......Page 48 2. Следствия из формулы Коши......Page 50 3. Принцип максимума модуля аналитической функции......Page 51 1. Аналитическая зависимость от параметра......Page 53 2. Существование производных всех порядков у аналитической функции......Page 55 1. Числовые ряды......Page 59 2. Функциональные ряды. Равномерная сходимость......Page 60 3. Свойства равномерно сходящихся рядов. Теоремы Вейерштрасса......Page 63 4. Несобственные интегралы, зависящие от параметра......Page 67 1. Теорема Абеля......Page 68 2. Ряд Тейлора......Page 72 1. Нули аналитической функции......Page 76 2. Теорема единственности......Page 77 1. Продолжение с действительной оси......Page 81 2. Продолжение соотношений......Page 85 3. Свойства элементарных функций......Page 88 4. Отображения элементарных функций......Page 92 1. Основные принципы. Понятие римановой поверхности......Page 96 2. Аналитическое продолжение через границу......Page 99 3. Примеры построения аналитического продолжения. Продолжение через границу......Page 100 4. Примеры построения аналитического продолжения. Продолжение с помощью степенных рядов......Page 105 5. Правильные и особые точки аналитической функции......Page 107 6. Понятие полной аналитической функции......Page 111 1. Область сходимости ряда Лорана......Page 113 2. Разложение аналитической функции в ряд Лорана......Page 115 § 2. Классификация изолированных особых точек однозначной аналитической функции......Page 117 1. Определение и формулы вычисления вычета......Page 125 2. Основная теорема теории вычетов......Page 127 § 2. Вычисление определенных интегралов с помощью вычетов......Page 130 Лемма Жордана......Page 134 Случай многозначных функций......Page 140 1. Понятие логарифмического вычета......Page 145 2. Подсчет числа нулей аналитической функции......Page 147 1. Определение конформного отображения......Page 150 2. Простейшие примеры......Page 154 3. Основные принципы......Page 157 4. Теорема Римана......Page 162 § 2. Дробно-линейная функция......Page 165 § 3. Функция Жуковского......Page 175 § 4. Интеграл Шварца— Кристоффеля. Отображение многоугольников......Page 177 1. Связь аналитических и гармонических функций......Page 186 2. Сохранение оператора Лапласа при конформном отображении......Page 187 3. Задача Дирихле......Page 189 4. Построение функции источника......Page 192 1. Плоское установившееся движение жидкости......Page 193 2. Плоское электростатическое поле......Page 205 1. Определение преобразования Лапласа......Page 214 2. Изображение элементарных функций......Page 218 3. Свойства изображения......Page 220 5. Таблица изображений......Page 228 § 2. Определение оригинала по изображению......Page 229 1. Формула Меллина......Page 230 2. Условия существования оригинала......Page 233 3. Вычисление интеграла Меллина......Page 236 4. Случай регулярной на бесконечности функции......Page 240 1. Обыкновенные дифференциальные уравнения......Page 243 2. Уравнение теплопроводности......Page 247 3. Краевая задача для уравнения в частных производных......Page 249 1. Вводные замечания......Page 251 2. Метод Лапласа......Page 254 3. Метод перевала......Page 261 1. Вводные замечания......Page 269 2. Аналитические свойства преобразования Фурье......Page 273 3. Интегральные уравнения с ядром, зависящим от разности аргументов......Page 275 4. Общая схема метода Винера—Хопфа......Page 280 5.1. Вывод уравнения Милна......Page 285 5.2. Исследование решения уравнения Милна......Page 289 5.3. Дифракция на плоском экране......Page 292 6. Решение краевых задач для уравнений в частных производных методом Винера—Хопфа......Page 293 1. Основные определения......Page 298 2. Понятие аналитической функции многих комплексных переменных......Page 299 3. Формула Коши......Page 300 4. Степенные ряды......Page 302 5. Ряд Тейлора......Page 304 6. Аналитическое продолжение......Page 305 Приложение 4. Метод Ватсона......Page 308 Литература......Page 316