Advanced Calculus

Description

Advanced Calculus. Title Page......Page 2 Copyright Page......Page 3 Preface To The First Edition......Page 4 Preface To The Second Edition......Page 6 Contents......Page 7 1.1: Partial derivatives,......Page 16 1.2: Implicit functions,......Page 17 1.3: Higher order derivatives,......Page 19 §2. Functions of One Variable......Page 21 2.1: Limits and continuity,......Page 22 2.2: Derivatives,......Page 24 2.3: Rolle’s theorem,......Page 25 2.4: Law of the mean,......Page 26 3.1: Limits and continuity,......Page 29 3.2: Derivatives,......Page 31 3.4: Composite functions,......Page 33 3.5: Further cases,......Page 34 3.6: Differentiable functions,......Page 35 4.1: Definition of homogeneous functions,......Page 39 4.2: Euler’s theorem,......Page 40 4.3: Higher derivatives,......Page 41 §5. Implicit Functions......Page 44 5.1: Differentiation of implicit functions,......Page 45 5.3: Higher derivatives,......Page 46 6.2: Jacobians,......Page 49 6.3: Further cases,......Page 50 6.4: The inverse of a transformation,......Page 51 §7. Dependent and Independent Variables......Page 55 7.1: First illustration,......Page 56 7.3: Third illustration,......Page 57 8.1: The differential,......Page 60 8.2: Meaning of the differential,......Page 61 8.3: Directional derivatives,......Page 63 8.4: The gradient,......Page 65 9.1: Functions of a single variable,......Page 68 9.2: Functions of two variables,......Page 70 10.1: Implicit functions,......Page 74 10.2: The inverse of a transformation,......Page 75 10.3: Change of variable,......Page 77 11.1: A preliminary result,......Page 79 11.2: The principal result, 52. 11.3: An example,......Page 80 11.3: An example,......Page 81 12.1: The existence theorem,......Page 84 12.3: A criterion for functional dependence,......Page 87 12.4: Simultaneous equations,......Page 89 1.1: Definition of a vector,......Page 93 1.2: Algebra of vectors,......Page 94 1.3: Properties of the operations,......Page 95 1.4: Sample vector calculations,......Page 96 2.1: Syllabus for solid geometry,......Page 98 2.2: Comments on the syllabus,......Page 100 2.3: Vector applications,......Page 101 §3. Space Curves......Page 103 3.1: Examples of curves,......Page 104 3.2: Specialized curves,......Page 106 §4. Surfaces......Page 109 4.1: Examples of surfaces,......Page 110 4.2: Specialized surfaces,......Page 111 5.1: Definition of......Page 115 5.2: Directional derivatives,......Page 116 5.3: Meaning of the gradient,......Page 117 §6. Invariants......Page 120 6.1: Change of axes,......Page 121 6.2: Invariance of inner product,......Page 122 6.3: Invariance of outer product,......Page 123 1.1: An integral formula for arc length,......Page 125 1.2: Tangent to a curve,......Page 127 §2. Osculating Plane......Page 130 2.1: Zeros. Order of contact,......Page 131 2.2: Equation of the osculating plane,......Page 132 2.3: Trihedral at a point,......Page 133 3.1: Curvature,......Page 136 3.2: Torsion,......Page 138 4.1: Derivation of the formulas,......Page 142 4.2: An application,......Page 143 §5. Surface Theory......Page 146 5.1: The normal vector,......Page 147 5.3: Normal line,......Page 149 5.4: An example,......Page 150 6.1: First fundamental form,......Page 152 6.2: Arc length and angle,......Page 153 6.3: Second fundamental form,......Page 154 6.4: Curvature of a normal section of a surface,......Page 155 §7. Mercator Maps......Page 157 7.1: Curves on a sphere,......Page 158 7.3: Mercator maps,......Page 160 1.1: Necessary conditions,......Page 164 1.2: Sufficient conditions,......Page 165 1.3: Points of inflection,......Page 166 §2. Functions of Two Variables......Page 168 2.1: Absolute maximum or minimum,......Page 169 2.2: Illustrative examples,......Page 170 2.3: Critical treatment of an elementary problem,......Page 171 3.1: Relative extrema,......Page 174 3.2: Saddle-points,......Page 176 3.3: Least squares,......Page 178 4.1: Quadratic forms,......Page 181 4.2: Relative extrema,......Page 183 5.1: One relation between two variables,......Page 185 5.2: One relation among three variables,......Page 188 5.3: Two relations among three variables,......Page 189 6.1: Envelopes,......Page 193 6.2: Curve as envelope of its tangents,......Page 195 6.3: Evolute as envelope of normals,......Page 196 §7. Families of Surfaces......Page 197 7.1: Envelopes of families of surfaces,......Page 198 7.2: Developable surfaces,......Page 199 §1. Introduction......Page 202 1.1: Definitions,......Page 204 1.2: Existence of the integral,......Page 206 2.1: A table of properties,......Page 209 2.2: Sums,......Page 210 2.4: Extensions,......Page 211 3.1: Partial summation,......Page 214 3.2: The formula,......Page 215 §4. Laws of the Mean......Page 217 4.1: First mean-value theorem,......Page 218 4.2: Second mean-value theorem,......Page 219 5.1: Mass of a material wire,......Page 222 5.2: Moment of inertia,......Page 224 6.1: The Heine-Borel theorem,......Page 228 6.2: Bounds of continuous functions,......Page 229 6.3: Maxima and minima of continuous functions,......Page 230 6.4: Uniform continuity,......Page 231 6.5: Duhamel’s theorem,......Page 232 6.7: Critical remarks,......Page 234 7.1: Preliminary results,......Page 236 7.3: The Riemann integral,......Page 238 1.1: Regions,......Page 242 1.2: Definitions,......Page 243 1.3: Existence of the integral,......Page 244 §2. Properties of Double Integrals......Page 246 2.2: Iterated integrals,......Page 247 2.3: Volume of a solid,......Page 248 §3. Evaluation of Double Integrals......Page 250 3.1: The fundamental theorem,......Page 251 3.2: Illustrations,......Page 253 4.1: Region Rθ and Rr,......Page 255 4.2: The fundamental theorem,......Page 256 4.3: Illustrations,......Page 257 5.1: Rectangular coordinates,......Page 260 5.2: Polar coordinates,......Page 261 6.1: Duhamel’s theorem,......Page 264 6.2: Center of gravity of a plane lamina,......Page 265 6.3: Moments of inertia,......Page 266 7.2: A preliminary result,......Page 269 7.3: The integral formula,......Page 270 7.4: Critique of the definition,......Page 271 7.5: Attraction,......Page 272 8.1: Definition of the integral,......Page 274 8.2: Iterated integral,......Page 275 8.3: Applications,......Page 277 9.1: Cylindrical coordinates,......Page 279 9.2: Spherical coordinates,......Page 280 10.2: Preliminary results,......Page 284 10.4: Area,......Page 286 1.1: Curves,......Page 288 1.2: Definition of line integrals,......Page 289 1.3: Work,......Page 292 2.1: A first form,......Page 295 2.2: A second form,......Page 296 2.3: Remarks,......Page 297 2.4: Area,......Page 298 3.1: Existence of exact differentials,......Page 300 3.2: Exact differential equations,......Page 302 3.3: A further result,......Page 303 3.4: Multiply connected regions,......Page 304 4.1: Definition of surface integrals,......Page 306 4.2: Green’s or Gauss’s theorem,......Page 309 4.3: Extensions,......Page 312 5.1: Transformations,......Page 315 5.2: Double integrals,......Page 317 5.3: An application,......Page 319 5.5: An auxiliary result,......Page 321 6.1: Definition of the line integral,......Page 324 6.2: Stokes’s theorem,......Page 325 6.3: Remarks,......Page 328 6.4: Exact differentials,......Page 330 6.5: Vector considerations,......Page 332 §1. The Indeterminate Form 0/0......Page 337 1.1: The law of the mean,......Page 338 1.3: L’Hospital’s rule,......Page 340 §2. The Indeterminate Form ∞/∞......Page 344 2.1: L’Hospital’s rule,......Page 345 §3. Other Indeterminate Forms......Page 349 3.1: The form 0.∞,......Page 350 3.3: The forms 0∞, 0∞, ∞0, ∞∞, 1∞,......Page 351 4.1: The method of series,......Page 354 4.3: Orders of infinity,......Page 356 5.1: Limit points of a sequence,......Page 360 5.2: Properties of superior and inferior limits,......Page 363 5.3: Cauchy’s criterion,......Page 364 5.4: L’Hospital’s rule (concluded),......Page 365 1.1: Convergence and divergence,......Page 369 1.2: Comparison tests,......Page 370 2.1: D’Alembert’s ratio test,......Page 374 2.3: Maclaurin’s integral test,......Page 375 3.1: Absolute and conditional convergence,......Page 379 3.2: Leibniz’s theorem on alternating series,......Page 380 4.1: Limit test for convergence,......Page 384 4.2: Limit test for divergence,......Page 385 §5. Uniform Convergence......Page 387 5.1: Definition of uniform convergence,......Page 388 5.2: Weierstrass’s M-test,......Page 390 5.3: Relation to absolute convergence,......Page 391 6.1: Continuity of the sum of a series,......Page 393 6.2: Integration of series,......Page 394 6.3: Differentiation of series,......Page 395 §7. Divergent Series......Page 398 7.1: Precaution,......Page 399 7.2: Cesàro summability,......Page 400 7.3: Regularity,......Page 402 7.4: Other methods of summability,......Page 403 8.1: Cauchy’s inequality,......Page 405 8.2: Hölder and Minkowski inequalities,......Page 406 8.3: Partial summation,......Page 408 9.1: Region of convergence,......Page 411 9.2: Uniform convergence,......Page 412 9.3: Abel’s theorem,......Page 413 1.1: Classification of improper integrals,......Page 417 1.2: Type I., Convergence,......Page 418 1.3: Comparison tests,......Page 420 1.4: Absolute convergence,......Page 422 §2. Type I. Limit Tests......Page 425 2.2: Limit test for divergence,......Page 426 §3. Type I. Conditional Convergence......Page 430 3.1: Integrand with oscillating sign,......Page 431 3.2: Sufficient conditions for conditional convergence,......Page 432 4.1: Convergence,......Page 436 4.2: Comparison tests,......Page 437 4.4: Limit tests,......Page 438 4.5: Oscillating integrands,......Page 440 5.1: Type II,......Page 442 5.3: Summary of limit tests,......Page 443 5.4: Combinations of integrals,......Page 444 §6. Uniform Convergence......Page 448 6.1: The Weierstrass M-test,......Page 450 7.1: Integral as a function of its limits of integration,......Page 453 7.2: Integral as a function of a parameter,......Page 454 7.3: Integrals as composite functions,......Page 456 7.4: Application to Taylor’s formula,......Page 457 §8. Application of Uniform Convergence......Page 460 8.1: Continuity,......Page 461 8.2: Integration,......Page 462 8.3: Differentiation,......Page 463 9.1: Cesàro summability,......Page 466 9.2: Regularity,......Page 467 9.3: Other methods of summability,......Page 468 10.1: The Schwarz inequality,......Page 470 10.2: The Hölder inequality,......Page 471 10.3: The Minkowski inequality,......Page 472 1.1: The gamma function,......Page 475 1.2: Extension of definition,......Page 477 1.3: Certain constants related to Γ(x),......Page 479 1.4: Other expressions for Γ(x),......Page 481 2.1: Definition and convergence,......Page 483 2.2: Other integral expressions,......Page 484 2.3: Relation to Γ(x),......Page 485 2.4: Wallis’s product,......Page 486 3.1: Differentiation with respect to a parameter,......Page 489 3.2: Use of special Laplace transforms,......Page 490 3.3: The method of infinite series,......Page 492 4.1: Preliminary results,......Page 495 4.2: Proof of Stirling’s formula,......Page 498 4.3: Existence of Euler’s constant,......Page 500 4.4: Infinite products,......Page 501 4.5: An infinite product for Γ(x),......Page 502 1.1: Definitions,......Page 507 1.2: Orthogonality relation,......Page 508 1.3: Further examples of Fourier series,......Page 510 §2. Several Classes of Functions......Page 513 2.1: The classes P, D, D1,......Page 514 2.2: Relation among the classes,......Page 516 2.3: Abbreviations,......Page 517 3.1: Bessel’s inequity,......Page 519 3.2: The Riemann-Lebesgue, theorem,......Page 520 3.3: The remainder of a Fourier series,......Page 521 3.4: The convergence theorem,......Page 523 4.1: Points of discontinuity,......Page 526 4.2: Riemann’s theorem,......Page 527 4.3: Applications,......Page 528 §5. Vibrating String......Page 532 5.2: Differential equation of vibrating string,......Page 533 5.3: A boundary-value problem,......Page 535 5.4: Solution of the problem,......Page 537 5.5: Uniqueness of solution,......Page 538 5.6: Special cases,......Page 539 §6. Summability of Fourier Series......Page 541 6.1: Preliminary results,......Page 542 6.2: Fejér’s theorem.......Page 543 6.3: Uniformity,......Page 544 §7. Applications......Page 546 7.2: Weierstrass’s theorem on polynomial approximation,......Page 547 7.3: Least square approximation,......Page 548 7.4: Parseval’s theorem,......Page 550 7.5: Uniqueness,......Page 551 8.1: Analogies with Fourier series,......Page 554 8.3: A preliminary result,......Page 555 8.5: Fourier transform,......Page 557 §1. Introduction......Page 561 1.1: Relation to power series,......Page 562 1.2: Definitions,......Page 563 §2. Region of Convergence......Page 566 2.1: Power series,......Page 567 2.2: Convergence theorem,......Page 568 2.3: Examples,......Page 570 §3. Absolute and Uniform Convergence......Page 572 3.2: Uniform convergence,......Page 573 3.3: Differentiation of generating functions,......Page 574 4.2: Linear change of variable,......Page 577 4.3: Differentiation,......Page 578 4.4: Integration,......Page 579 4.5: Illustrations,......Page 580 5.1: Definition of resultant,......Page 582 5.2: Product of generating functions,......Page 583 5.3: Application,......Page 584 §6. Tables of Transforms......Page 586 6.1: Some new functions,......Page 587 6.2: Transforms of the functions,......Page 588 7.1: A preliminary result,......Page 591 7.2: The principal result,......Page 592 8.1: Preliminary results,......Page 594 8.2: The inversion formula,......Page 596 9.1: Rational functions,......Page 598 9.2: Power series in 1/s,......Page 599 9.3: Illustrations,......Page 600 10.1: The bilateral Laplace transform,......Page 602 10.2: Laplace-Stieltjes transform,......Page 604 10.3: The Stieltjes transform,......Page 605 1.1: Integrands that are generating functions,......Page 609 1.2: Integrands that are determining functions,......Page 611 2.1: First order equations,......Page 613 2.2: Uniqueness of solution,......Page 615 2.3: Equations of higher order,......Page 616 3.1: The problem,......Page 618 3.2: The class E,......Page 619 3.4: Solution of the problem,......Page 621 4.1: The problem,......Page 624 4.2: Solution of the problem,......Page 625 4.3: Uniqueness of solution,......Page 626 §5. Difference Equations......Page 628 5.1: The problem,......Page 629 5.3: A property of the transform,......Page 630 5.4: Solution of difference equations,......Page 631 6.1: The first transformation,......Page 634 6.2: The second transformation,......Page 635 6.3: The plucked string,......Page 636 Selected Answers......Page 640 Index of Symbols......Page 657 Index......Page 659