Elementare Algebra und Zahlentheorie

Description

Dieses Buch behandelt die Grundlagen der Algebra und der elementaren Zahlentheorie. Zentrale Begriffe sind Primelemente und irreduzible Elemente. Ausgehend vom Aufbau einer Arithmetik in Hauptidealringen und insbesondere euklidischen Ringen sind die zentralen Themen zum einen irreduzible Polynome, zum anderen Primzahlen. Dies führt zu den algebraischen Körpererweiterungen und zu Fragen nach der Konstruktion mit Zirkel und Lineal. Nach einem längeren Ausflug in die Gruppentheorie bis zum Sylow-Satz und den auflösbaren Gruppen wird die Idee der Galoistheorie exemplarisch an der Frage der Auflösbarkeit von Polynomgleichungen behandelt. In der Zahlentheorie spielen Primzahlen eine zentrale Rolle. Behandelt werden die Verteilung von Primzahlen, Primzahlformeln, Carmichaelzahlen, Kongruenzen, der Chinesische Restsatz und quadratische Reste bis hin zum quadratischen Reziprozitätsgesetz. Neu in dieser 2. Auflage sind eine Erweiterung des Themas "Ringe" auf mehrere Kapitel sowie die Themen "Lösbarkeit von Gleichungen" und "Primzahltests“. Darüber hinaus wurden auch in einigen Beweisen andere Ideen verwendet. Front Matter ....Pages I-XI Wiederholung und Grundlagen (Gernot Stroth, Rebecca Waldecker)....Pages 1-3 Arithmetik (Gernot Stroth, Rebecca Waldecker)....Pages 5-16 Ringe und Ideale (Gernot Stroth, Rebecca Waldecker)....Pages 17-33 Polynomringe (Gernot Stroth, Rebecca Waldecker)....Pages 35-49 Irreduzibilitätstests (Gernot Stroth, Rebecca Waldecker)....Pages 51-56 Körper (Gernot Stroth, Rebecca Waldecker)....Pages 57-70 Primzahlen (Gernot Stroth, Rebecca Waldecker)....Pages 71-82 Das quadratische Reziprozitätsgesetz (Gernot Stroth, Rebecca Waldecker)....Pages 83-95 Lösbarkeit von Gleichungen (Gernot Stroth, Rebecca Waldecker)....Pages 97-110 Gruppen (Gernot Stroth, Rebecca Waldecker)....Pages 111-143 Endliche Körper (Gernot Stroth, Rebecca Waldecker)....Pages 145-147 Konstruktion mit Zirkel und Lineal (Gernot Stroth, Rebecca Waldecker)....Pages 149-155 Primzahltests (Gernot Stroth, Rebecca Waldecker)....Pages 157-164 Back Matter ....Pages 165-170