Análise Complexa em uma Variável e Aplicações

Description

Este é um livro de apoio ao inı́cio do estudo de Análise Complexa e centra-se nos aspectos básicos de funções complexas de uma variável. O tema tem três caracterı́sticas interessantes: ideias simples unificadoras e clarificadoras de conceitos que (em análise real) aparecem como distintos ou complicados, fer- tilidade para o desenvolvimento de outras áreas da matemática, e relevância para aplicações a outras ciências e à engenharia. Este livro pode ser a base de uma primeira disciplina de um semestre de Análise Complexa, mas tem a particularidade dos primeiros oito capı́- tulos serem apresentados de modo adequado a uma primeira disciplina de meio semestre que também seja uma base sólida para estudos subsequentes. Usam-se frequentemente, desde o inı́cio, representações geométricas com o objectivo de desenvolver intuição sobre as restrições e as formas de transfor- mação associadas à diferenciabilidade de funções complexas, em particular explorando transformações conformes, o que transparece nas cerca de 150 figuras incluı́das. Prefácio-0.1cm......Page 5 Introdução......Page 17 Estrutura algébrica......Page 18 Estrutura topológica......Page 22 Representação geométrica de funções......Page 27 Funções polinomiais e funções racionais......Page 31 Função exponencial......Page 32 Funções trigonométricas e hiperbólicas......Page 33 Logaritmos......Page 35 Potências e exponenciais de base complexa......Page 37 Funções trigonométricas inversas......Page 38 Limite e continuidade......Page 39 Introdução......Page 41 Diferenciabilidade e derivada......Page 42 Transformações conformes......Page 51 Introdução......Page 65 Integral em caminho......Page 67 Primitiva......Page 70 Teorema de Cauchy local......Page 75 Índice de caminho fechado e homotopia de caminhos......Page 76 Fórmula de Cauchy local em conjuntos convexos......Page 80 Introdução......Page 83 Sucessões e séries de números complexos......Page 86 Sucessões e séries de funções uniformemente convergentes......Page 87 Séries de potências......Page 88 Definição e propriedades básicas de funções analíticas......Page 91 Zeros de funções analíticas......Page 94 Fórmula de Parseval para séries de potências......Page 95 Introdução......Page 105 Holomorfia, analiticidade e teorema de Cauchy local......Page 107 Teorema Fundamental da Álgebra......Page 110 Estrutura local de funções holomorfas......Page 111 Analiticidade das séries de funções analíticas......Page 116 Cadeias e ciclos......Page 125 Teorema e fórmula de Cauchy globais......Page 130 Invariância de integrais de funções holomorfas......Page 131 Regiões simplesmente e multiplamente conexas......Page 132 Extensões do Princípio do Módulo Máximo......Page 135 Introdução......Page 145 Singularidades e séries de Laurent......Page 147 Funções meromorfas e teorema dos resíduos......Page 150 Contagem de zeros e pólos de funções meromorfas......Page 158 I. Elementos de topologia geral......Page 181 II. Espaços de homologia e teorema da curva de Jordan......Page 205 -0.13cmBibliografia......Page 215