Математический анализ: учебное пособие для студентов

Description

Предисловие Элементы математической логики Элементы теории множеств Понятие множества Операции над множествами Прямое (декартово) произведение Метод математической индукции Действительные (вещественные) числа Представление вещественных чисел в виде бесконечных десятичных дробей Аксиоматическое определение множества вещественных чисел Следствия из аксиом действительных чисел Полнота числовой прямой Ограниченные множества действительных чисел Принцип Архимеда и его следствия Предел числовой последовательности Понятие предела последовательности Свойства сходящихся последовательностей Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности Монотонные последовательности Предел функции Понятие функции Определение предела функции в точке Свойства предела функции Бесконечно малые и бесконечно большие функции Непрерывность функции Точки непрерывности и разрыва функции Функции, непрерывные на отрезке Равномерная непрерывность функций Существование обратных функций Элементарные функции Замечательные пределы Дифференциальное исчисление функции одной переменной Определение и геометрический смысл производной функции в точке Дифференцируемые функции. Дифференциал Производная сложной функции Производная обратной функции Производные и дифференциалы высших порядков Производная функции, заданной параметрически Основные теоремы дифференциального исчисления Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя Формула Тейлора Исследование поведения функции при помощи производных Первообразная, неопределенный интеграл и их свойства Некоторые методы вычисления неопределенного интеграла Определенный интеграл Суммы Дарбу. Критерий интегрируемости Классы интегрируемых функций Простейшие свойства интеграла Теоремы о среднем значении Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона–Лейбница Методы вычисления определенного интеграла Приложения определенного интеграла Метрические пространства. Сходимость в пространстве Rn Расстояние. Сходимость в метрическом пространстве Метрическое пространство Rn Предел функции многих переменных Непрерывность функции многих переменных Непрерывность в точке. Локальные свойства непрерывных функций Непрерывность на множестве. Свойства функций, непрерывных на множестве Дифференцируемость функции многих переменных Частные производные Определениедифференцируемости и дифференциала функции Дифференцирование сложной функции Частные производные и дифференциалы высших порядков Неявные функции Замена переменных в дифференциальных выражениях Замена переменных в дифференциальных выражениях, содержащих обыкновенные производные Замена переменных в дифференциальных выражениях, содержащих частные производные Экстремум функции многих переменных Определение и необходимые условия экстремума функции нескольких переменных Некоторые сведения о квадратичных формах Достаточные условия экстремума функции нескольких переменных Условный экстремум Наибольшие и наименьшие значения функции Геометрические приложения функций многих переменных Вектор-функции Ряды Основные определения Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами Признаки сходимости знакопеременных рядов Теоремы о группировке и перестановке рядов Область сходимости функционального ряда. Степенной ряд. Радиус сходимости степенного ряда Равномерная сходимость функциональной последовательности и функционального ряда Примеры решения задач Кратные интегралы Двойные интегралы Приложения двойных интегралов Примеры решения задач на двойные интегралы Тройные интегралы Приложения тройных интегралов Криволинейный интеграл Определение криволинейного интеграла от вектор-функции Криволинейный интеграл по длине дуги Элементы теории поля Ряды Фурье Список рекомендуемой литературы