Leçons pour l’agrégation de mathématiques

Description

Couverture Page de titre Avant-propos Déroulement des oraux Mode d'emploi Comptes rendus d'oraux 101 Groupe opérant sur un ensemble. E&A 102 Groupe des nombres complexes de module 1. Sous-groupes des racines de l'unité_ Applications 103 Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications 104 Groupes finis. Exemples et applications 105 Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications 106 Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications 107 Représentations et caractères d'un groupe fini sur un C-espace vectoriel 108 Exemples de parties génératrices d'un groupe. Applications 110 Structure et dualité des groupes abéliens finis. Applications 120 Anneaux Z/nZ. Applications 121 Nombres premiers. Applications 122 Anneaux principaux. Applications 123 Corps finis. Applications 125 Extensions de corps. Exemples et applications 126 Exemples d'équations en arithmétique_ 141 Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. E & A 142 PGCD et PPCM, algorithmes de calcul. Applications 144 Racines d'un polynôme. Fonctions symétriques élémentaires. E & A 150 Exemples d'actions de groupes sur les espaces de matrices 151 Dimension d'un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et applications 152 Déterminant. Exemples et applications 153 Polynômes d'endomorphisme en dimension finie. Réduction d'un endomorphisme en dimension finie. Applications 154 Sous-espaces stables par un endomorphisme ou une famille d'endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie. Applications 155 Endomorphismes diagonalisables en dimension finie 156 Exponentielle de matrices. Applications 157 Endomorphismes trigonalisables. Endomorphismes nilpotents 158 Matrices symétriques réelles, matrices hermitiennes 159 Formes linéaires et dualité en dimension finie. Exemples et applications 160 Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien (dimension finie) 161 Distances et isométries d'un espace affine euclidien 162 Systèmes d'équations linéaires; opérations élémentaires, aspects algorithmiques et conséquences théoriques 170 Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. 0rthogonalité, isotropie. Applications 171 Formes quadratiques réelles. Coniques. Exemples et applications 181 Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie, convexité. Applications 182 Applications des nombres complexes à la géométrie 183 Utilisation des groupes en géométrie 190 Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement 201 Espaces de fonctions : exemples et applications 202 Exemples de parties denses et applications 203 Utilisation de la notion de compacité 204 Connexité. Exemples et applications 205 Espaces complets. Exemples et applications 207 Prolongement de fonctions. Exemples et applications 208 Espaces vectoriels normés, applications linéaires continues. Exemples 209 Approximation d'une fonction par des polynômes et des polynômes trigonométriques. Exemples et applications 213 Espaces de HILBERT. Bases hilbertiennes. Exemples et applications 214 Théorème d'inversion locale, théorème des fonctions implicites. Exemples et applications en analyse et en géométrie 215 Applications différentiables définies sur un ouvert de Rn. E & A 218 Applications des formules de TAYLOR 219 Extrémums : existence, caractérisation, recherche. Exemples et applications 220 Équations différentielles X' = f(t;X). Exemples d'étude des solutions en dimension 1 et 2 221 Équations différentielles linéaires. Systèmes d'équations différentielles linéaires. Exemples et applications 222 Exemples d'équations aux dérivées partielles linéaires 223 Suites numériques. Convergence, valeurs d'adhérence. E & A 224 Exemples de développements asymptotiques de suites et de fonctions 226 Suites vectorielles et réelles définies par une relation de récurrence u_{n+1} = f(u_n) 228 Continuité et dérivabilité des fonctions réelles d'une variable réelle. Exemples et contre-exemples 229 Fonctions monotones, fonctions convexes. Exemples d'applications 230 Séries de nombres réels ou complexes. Comportement des restes ou des sommes partielles des séries numériques. Exemples 233 Analyse numérique matricielle: résolution approchée de systèmes linéaires, recherche de vecteurs propres, exemples 234 Fonctions et espaces de fonctions Lebesgue-intégrables 235 Problèmes d'interversion de limites et d'integrales 236 Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d'intégrales de fonctions d'une ou plusieurs variables réelles 239 Fonctions définies par une intégrale dépendant d'un paramètre. E & A 241 Suites et séries de fonctions. Exemples et contre-exemples 243 Convergence des séries entières, propriétés de la somme. E & A 245 Fonctions holomorphes sur un ouvert de C. Exemples et applications 246 Séries de Fourier. Exemples et applications 250 Transformation de Fourier. Applications 253 Utilisation de la notion de convexité en analyse 260 Espérance, variance et moments d'une variable aléatoire 261 Loi d'une variable aléatoire : caractérisations, exemples, applications 262 Convergences d'une suite de variables aléatoires. Théorèmes limite. E & A 263 Variables aléatoires à densité. Exemples et applications 264 Variables aléatoires discrètes. Exemples et applications 265 Exemples d'études et d'applications de fonctions usuelles et spéciales 266 Définition du nombre 2π 267 Caractérisation de n dans GLn(K) 268 Étude de l'espace L¹ dont la transformée de Fourier est L¹ 269 Nombres premiers comme somme de deux ou trois carrés 270 Récurrence des marches aléatoire : théorème de Polyà 271 Ensemble de Cantor et escalier du diable 272 Lemme de Riemann-Lebesgue 273 Étude autour d'une orbite périodique 274 Inégalités dans les L^p Bibliographie