Математическое моделирование нелинейных процессов: учебник для академического бакалавриата

Description

В основу книги легли главы лекционного курса по математическому моделированию, читаемого авторами в течение нескольких лет для студентов бакалавриата Московского физико-технического института. В учебнике рассматриваются методы исследования математических моделей динамических систем. Рассматриваются дискретные модели (отображения и модели клеточных автоматов), системы обыкновенных дифференциальных уравнений и простейшие уравнения в частных производных. Большинство примеров, рассматриваемых в книге, взяты из биологических приложений. К каждой главе приведены задания для самостоятельной работы, в том числе связанные с использованием имеющихся компьютерных пакетов и разработкой компьютерных программ. Предисловие Введение Глава 1. Разностные отображения в нелинейной динамике 1.1. Разностные отображения 1.2. Свойства логистического отображения 1.3. Теорема Шарковского 1.4. Шумящие циклы 1.5. Итерационные методы нахождения неподвижной точки отображения Контрольные вопросы Задания для самостоятельной работы Глава 2. Модели клеточных автоматов 2.1. Понятие о клеточных автоматах 2.2. Игровые модели как клеточные автоматы 2.3. Игра Дж. Конвея «Жизнь» и двумерный клеточный автомат Кохомото — Ооно 2.4. Клеточные автоматы и разностные схемы, аппроксимирующие простейшее уравнение параболического типа Контрольные вопросы Задания для самостоятельной работы Глава 3. Элементы качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений 3.1. Уравнения Мальтуса, Ферхюльста 3.2. Модели Лотки — Вольтерры 3.3. Простые состояния равновесия при n = 2 3.4. Обзор простых состояний равновесия для n = 3 3.5. Понятие грубости системы 3.6. Изучение окрестности предельного цикла 3.7. Система первой степени негрубости 3.8. Критерии Бендиксона и Дюлака отсутствия предельных циклов. Индексы особых точек 3.9. Бифуркации некоторых типов сложных особых точек 3.10. Аттракторы динамических систем Контрольные вопросы Задания для самостоятельной работы Глава 4. Асимптотические методы решения нелинейных динамических задач. Методы осреднения 4.1. Асимптотические методы. Введение в теорию малых возмущений 4.2. Сингулярно возмущенные задачи. Теорема А. Н. Тихонова 4.3. Метод осреднения Ван-дер-Поля 4.4. Метод осреднения Крылова — Боголюбова 4.5. Стробоскопический метод осреднения быстрых вращений Контрольные вопросы Задания для самостоятельной работы Глава 5. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений 5.1. Базовые понятия 5.2. Методы Рунге — Кутты 5.3. Методы Адамса 5.4. Оценка погрешности по правилу Рунге. Автоматический выбор шага интегрирования 5.5. Устойчивость методов Рунге — Кутты Контрольные вопросы Задания для самостоятельной работы Глава 6. Методы решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений 6.1. Явление жесткости. Предварительные сведения 6.2. Сингулярно возмущенные задачи 6.3. Решение линейных жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений и вычисление матричной экспоненты 6.4. Численные методы решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Семейства методов Рунге — Кутты и Розенброка 6.5. Формулы дифференцирования назад и методы Гира. Представление Нордсика Контрольные вопросы Задания для самостоятельной работы Глава 7. Моделирование динамических систем обыкновенными дифференциальными уравнениями с запаздыванием 7.1. Примеры математических моделей. Основные понятия 7.2. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом 7.3. Непрерывные методы Рунге — Кутты 7.4. Уравнения с запаздыванием и задача интерполяции. Сплайны. B-сплайны 7.5. Некоторые примеры задач с запаздыванием Контрольные вопросы Задания для самостоятельной работы Глава 8. Некоторые численные методы исследования бифуркаций особых точек и поиск периодических решений 8.1. Исследование эволюции особых точек при изменении параметра. Продолжение по параметру 8.2. Вычисление периодических решений для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка и периодическая прогонка 8.3. Вычисление периодических решений для нелинейных автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений 8.4. Продолжение периодических решений по параметру Контрольные вопросы Задания для самостоятельной работы Глава 9. Численное решение некорректных задач. Поиски минимума 9.1. Определение некорректной задачи 9.2. Приближенные методы решения некорректных задач 9.3. Численные методы поиска минимума функционала 9.4. Примеры оптимизационных задач в биологии и медицине Контрольные вопросы Задания для самостоятельной работы Задания для реализации на компьютере Глава 10. Математические модели процессов переноса. Методы численного решения уравнений переноса 10.1. Простейшее линейное уравнение переноса 10.2. Уравнения Фёрстера и связанные с ним математические модели 10.3. Квазилинейные уравнения гиперболического типа. Характеристики квазилинейных уравнений 10.4. Численные методы решения уравнений в частных производных гиперболического типа на примере линейного уравнения переноса 10.5. Численные методы решения уравнений в частных производных гиперболического типа для квазилинейного уравнения переноса (уравнения Хопфа) 10.6. Методы регуляризации численных решений с большими градиентами 10.7. Гибридные схемы Р. П. Федоренко 10.8. Схемы с уменьшением полной вариации 10.9. Идеи построения сеточно-характеристических методов и анализ разностных схем в пространстве неопределенных коэффициентов Контрольные вопросы Задания для самостоятельной работы Задания для реализации на компьютере Заключение Литература