Calcul différentiel : Cours et exercices corrigés

Description

Le Calcul différentiel a été créé par sir Isaac Newton et Gottfried Wilhelm Leibniz, dans laseconde moitié du XVII-ème siècle. Très vite, il s'est imposé comme une avancée majeuredes Mathématiques et même, plus généralement, de la Science. Newton lui-même l'utilise,vers 1680, pour expliquer le mouvement des planètes. Avec le développement des théoriesdes équations différentielles et des équations aux dérivées partielles, le Calcul différentielest rapidement devenu l'outil essentiel pour la formulation mathématique de nombreuses,théories physiques, dans les domaines les plus divers : Mécanique, Electromagnétisme,Thermodynamique, Optique, . . . . La place de choix qu'occupe le Calcul différentiel dansles enseignements de deuxième cycle de Mathématiques est donc pleinement justifiée.Le présent ouvrage traite du Calcul différentiel dans des espaces vectoriels normés, pasnécessairement de dimension finie, ou dans les espaces affines qui leur sont associés. Nouspensons en effet que traiter le Calcul différentiel uniquement dans les espaces}Rn serait uneerreur, malheureusement assez commune dans certains enseignements universitaires: unetelle limitation masque la nature essentiellement géométrique de la notion de différentielleet conduit à traiter le sujet de manière calculatoire, peu propice à l'appréhension des idées,sans pour autant permettre de notable simplification. Mais conformément aux caractèresgénéraux de la présente collection, nous introduisons toutes les notions abstraites demanière simple et progressive, et nous les illustrons par des exemples, e.n particulier dansles nombreux exercices, qui tous sont résolus.Nous supposons le lecteur familiarisé avec les notions de base de la Topologie et lespropriétés élémentaires des espaces vectoriels normés, exposées par exemple dans levolume Topologie des mêmes auteurs, dans la même collection. Nous renvoyons à cetouvrage par des références telles que [T.VIII.3.8], qui renvoie au sous-paragraphe 3.8 duchapitre VIII du livre Topologie (théorème d'Ascoli).