Fourier-Analysis und Distributionen

Description

Lehrbuch für Studierende der Mathematik, Physik und aller technisch-naturwissenschaftlichen Fachrichtungen, die Fourier-Analysis von Grund auf lernen wollen, ausgehend von Kenntnissen der mathematischen Grundvorlesungen im ersten Studienjahr. Der Theorieteil umfasst 180 Seiten über Fourierreihen, Fouriertransformation, Distributionen, DFT und z-Transformation. Zahlreiche Beispiele und Abbildungen machen den Stoff auch für Nicht-Mathematiker verständlich und vermitteln die erwünschte Rechentechnik. 270 Seiten des Buches sind konkreten Anwendungsbeispielen aus der Physik, der Elektrotechnik und der Signalverarbeitung gewidmet. Die Beispiele reichen von klassischen Problemen der Physik (Potentiale, Wellen, Wärmeleitung) bis zum Entwurf analoger und diskreter Filter, digitalen Übertragungsverfahren, Zeit-Frequenz-Analysis und Wavelets. Zu den Übungsaufgaben sind auch die Lösungen im Buch enthalten. Vorwort v Inhaltsverzeichnis vii 1 Einführung 1 1.1 Geschichtliches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Das Problem der schwingenden Saite . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 Trigonometrische Polynome, Fourierkoeffizienten 7 2.1 Darstellungen trigonometrischer Polynome . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2 Die Fourierkoeffizienten trigonometrischer Polynome . . . . . . . . . . 8 2.3 Dirichlet-Kerne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.4 Zusammenfassung über trigonometrische Polynome . . . . . . . . . . 13 3 Fourierreihen 15 3.1 Die erste Fourierreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.2 Grundlegende Sätze über Fourierreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.3 Das Spektrum periodischer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.4 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4 Rechnen mit Fourierreihen 31 4.1 Symmetrie-Eigenschaften, Linearität, Ähnlichkeit . . . . . . . . . . . . 31 4.2 Translationen im Zeit- und im Frequenzbereich . . . . . . . . . . . . . 35 4.3 Die Ableitung von Fourierreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.4 Integration von Fourierreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.5 Asymptotisches Verhalten der Fourierkoeffizienten . . . . . . . . . . . 39 4.6 Spektrum und Leistung, Parseval-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.7 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 5 Anwendungsbeispiele für Fourierreihen 47 5.1 Beste Approximation im quadratischen Mittel . . . . . . . . . . . . . . 47 5.2 Periodische Faltung, Anwendung auf lineare Systeme . . . . . . . . . . 50 5.3 Die Potentialgleichung auf einer Kreisscheibe . . . . . . . . . . . . . . 54 5.4 Lösung für das Problem der schwingenden Saite . . . . . . . . . . . . 58 5.5 Der Approximationssatz von Weierstraß . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 5.6 Das 1/f -Theorem von Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 5.7 Einführung in die diskrete Fouriertransformation . . . . . . . . . . . . 66 5.8 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 6 Zur Konvergenz von Fourierreihen 107 6.1 Der Satz von Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 6.2 Der Satz von Fejér, Konvergenz von Glättungen . . . . . . . . . . . . . 109 6.3 Die Parseval-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 6.4 Fourierreihen für Funktionen mehrerer Variablen . . . . . . . . . . . . 116 6.5 Gründe für den Übergang zu Distributionen . . . . . . . . . . . . . . . 121 6.6 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 7 Grundzüge der Distributionentheorie 125 7.1 Beschreibung von Funktionen durch Mittelwerte . . . . . . . . . . . . 125 7.2 Testfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 7.3 Der δ-Impuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 7.4 Distributionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 7.5 Rechnen mit Distributionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 7.6 Testfunktionen und Distributionen mit mehreren Variablen . . . . . . . 155 7.7 Tensorprodukt und Faltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 7.8 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 8 Anwendungsbeispiele für Distributionen 173 8.1 Periodische Distributionen sind verallgemeinerte Fourierreihen . . . . . 173 8.2 Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten . . . . . 180 8.3 Anwendung auf lineare elektrische Netzwerke . . . . . . . . . . . . . 191 8.4 Räumliche Potentialprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 8.5 Die Grundidee der Finiten Elemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 8.6 Distributionelle Lösung der Schwingungsgleichung . . . . . . . . . . . 219 8.7 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 8.8 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 9 Die Fouriertransformation 227 9.1 Darstellung von Funktionen durch harmonische Schwingungen . . . . 227 9.2 Fouriertransformation reellwertiger Funktionen . . . . . . . . . . . . . 230 9.3 Gibbs-Phänomen und Glättung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 9.4 Rechnen mit Fouriertransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 9.5 Die Fouriertransformation für temperierte Distributionen . . . . . . . . 242 9.6 Fouriertransformation von Faltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 9.7 Fouriertransformation quadratisch integrierbarer Funktionen . . . . . . 261 9.8 Die Fouriertransformation für Funktionen mehrerer Variablen . . . . . 264 9.9 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 10 Grundlagen über Lineare Filter 273 10.1 Signale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 10.2 Translationsinvariante lineare Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 10.3 Analoge lineare Filter, Stetigkeit und Kausalität . . . . . . . . . . . . . 277 10.4 Analoge Filter mit rationalen Frequenzgängen . . . . . . . . . . . . . . 287 10.5 Periodische Signale, stationäre Filterantwort . . . . . . . . . . . . . . 294 10.6 Diskrete lineare Filter, z-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 10.7 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 11 Weitere Anwendungsbeispiele für die Fouriertransformation 327 11.1 Der Abtastsatz von Shannon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327 11.2 Sampling als Grundlage digitaler Übertragungstechnik . . . . . . . . . 330 11.3 Die Heisenbergsche Unschärferelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343 11.4 Zeit-Frequenz-Analyse, gefensterte Fouriertransformationen . . . . . . 349 11.5 Zeitfenster bei der diskreten Fouriertransformation . . . . . . . . . . . 357 11.6 Anfangswertprobleme für stabile zeitinvariante lineare Systeme . . . . 363 11.7 Anfangswertprobleme für Wellen- und Wärmeleitungsgleichung . . . . 364 11.8 Der Satz von Malgrange-Ehrenpreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369 11.9 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377 12 Ausblicke auf weiterführende Konzepte 379 12.1 Hilberträume, spezielle vollständige Orthonormalsysteme . . . . . . . 379 12.2 Wavelets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386 A Der Residuensatz und der Fundamentalsatz der Algebra 405 B Hilfsmittel aus der Integrationstheorie 411 C Lösungen zu den Übungsaufgaben 423 Literaturverzeichnis 449 Symbolverzeichnis und physikalische Größen 457 Index 459