Лекции по математическому анализу

Description

Пособие состоит из восьми глав и содержит развёрнутое изложение курса лекций, читаемых автором студентам первого курса МФТИ. Разобрано большое количество примеров, иллюстрирующих теоретический материал. К каждой главе приложен список упражнений для самостоятельной работы. Предназначено для студентов физико-математических и инженерно-физических специальностей, изучающих математический анализ, а также для преподавателей, ведущих занятия по математическому анализу. Оглавление Предисловие .............................................................................. 6 Глава IX. Функции многих переменных......................... 7 § 1. Точечное пространство R". Некоторые классы точечных множеств.................................................................................... 7 § 2. Предел функции многих переменных...................................16 § 3. Предел функции в точке по множеству................................22 § 4. Непрерывность функций многих переменных. Непрерывные отображения.....................................................24 § 5. Свойства функций, непрерывных на множествах .... 27 § 6. Равномерная непрерывность функции на множестве . . 29 Упражнения к главе IX............................................................34 Глава X. Дифференциальное исчисление функций многих переменных .....................................................................38 § 1. Частные производные и дифференцируемость в точке . 38 § 2. Дифференцирование сложной функции................................49 § 3. Градиент и производная по направлению.............................55 § 4. Частные производные и дифференциалы высших порядков........................................................................................58 § 5. Формула Тейлора для функций многих переменных . . 65 Упражнения к главе X...............................................................72 Глава XI. Мера Жордана ві"...............................................75 § 1. Свойства открытых и замкнутых множеств .......................75 § 2. Клеточные множества...............................................................81 § 3. Определение и основные свойства меры Жордана .... 85 § 4. Конечная аддитивность меры Жордана................................96 Упражнения к главе XI..........................................................101 ОГЛАВЛЕНИЕ Глава XII. Определённый интеграл Римана...............105 § 1. Суммы Дарбу и критерий интегрируемости Дарбу . . . 105 §2. Классы интегрируемых функций........................................110 §3. Суммы Римана и критерий интегрируемости Римана . . 114 §4. Свойства интегрируемых функций.......................................117 § 5. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница...................................................................125 § 6. Геометрические приложения определённого интеграла . 132 § 7. Применение интеграла к выводу некоторых пределов . . 138 Упражнения к главе XII..........................................................143 Глава XIII. Несобственный интеграл.................................147 § 1. Определение и общие свойства...........................................147 § 2. Несобственные интегралы от знакопостоянных функций 156 § 3. Несобственные интегралы от знакопеременных функций 163 Упражнения к главе XIII.......................................................174 Глава XIV. Криволинейный интеграл..............................178 § 1. Криволинейный интеграл первого рода..............................178 § 2. Ориентация гладкой кривой....................................................181 § 3. Криволинейный интеграл второго рода..............................183 Упражнения к главе XIV.......................................................185 Глава XV. Числовые ряды ....................................................187 § 1. Общие свойства числовых рядов..........................................187 § 2. Числовые ряды со знакопостоянными членами..................191 § 3. Числовые ряды со знакопеременными членами ..............198 § 4. Влияние перестановки членов на сходимость ряда .... 205 Упражнения к главе XV..........................................................212 Глава XVI. Функциональные последовательности и ряды...............................................................................................215 § 1. Равномерная сходимость функциональных последовательностей..............................215 ОГЛАВЛЕНИЕ § 2. Равномерная сходимость функциональных рядов . . . . Упражнения к главе XVI..................................................... Глава XVII. Степенные ряды.............................................. § 1. Степенные ряды с комплексными членами. Радиус сходимости................................................................................. § 2. Степенные ряды с действительными членами............... § 3. Разложение элементарных функций в степенные ряды . §4. Разложение в степенные ряды функций ez, cosz, sinz . Упражнения к главе XVII..................................................... Литература ............................................................................. 224 235 238 238 247 253 262 264 268